HPM视角下数学归纳法的教学设计

数学归纳法的教学设计数学123班朱婷婷2012210726一、教材分析本节课是人教版教材高中数学选修2-2第二章§2.3第1课时的内容。数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的有力工具。在高一数列的学习中，学生已经学习了用归纳法推导等差数列、等比数列的通项公式，但其正确性还有待用数学归纳法加以证明，因此数学归纳法学习是数列知识的深入与扩展。它既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。二、学情分析学生通过第二章前两节的学习，已基本掌握归纳推理，且已经具备了一定的观察、归纳、猜想能力。另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础。三、教学目标1、知识与技能(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）；(2)了解数学归纳法的原理及使用范围；(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论；(4)会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题。2、过程与方法通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，并通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。3.情感态度价值观目标（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。（2）努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。教学重点和难点重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质；（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。难点：（1）对数学归纳法原理和递推思想的理解；（2）如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。四、教学方法讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法五、教学工具黑板、粉笔、PPT课件，传统板书与多媒体辅助教学相结合。六、教学过程（一）创设情境，引出课题情境一：费马猜想（不完全归纳法）师：在本章前两节内容中我们学习过不完全归纳法与完全归纳法，那么老师先请同学们来观察一下下面这组数：1640年，法国数学家费马观察到这些数都是质数，于是他提出猜想：任何形如（n∈N*)的数都是质数，这就是著名的费马猜想。这个猜想是正确的吗？学生思考计算。师：其实在费马猜想提出半个世纪以后，另一位数学家欧拉发现n=5时，F5=252=4294967297=641×6700417不是质数，从而推翻了费马猜想。（说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）情境二：华罗庚的“摸球实验”（完全归纳法）师：我们再来探究一下华罗庚的“摸球实验”。（1）这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？启发回答:方法一：把它全部倒出来看一看。特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性。方法二：一个一个拿，拿一个看一个。比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球是白球。特点：有顺序，有过程。（2）如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？生：不可行。(利用完全归纳法得出的结论是可靠的，但对于解决与正整数有关的问题却无法完成。）总结：通过前面两个例子，使我们进一步认识到用不完全归纳法得出的结论，因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。要想正确的解决一个与正整数有关的问题，就可靠性而言，应该选用完全归纳法。现在请同学们想一想，在以前给出的数学公式中，有没有用不完全归纳法得出的？生：有。例如等差数列通项公式的推导。师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律:daa011，daa12，daa213，daa314，……归纳出了它的通项公式的。等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，又因为正整数有无限多个，不可能一一验证，那么该如何证明这类有关正整数的命题呢？（追问引出课题：数学归纳法）师：其实这种方法来源于生活，请同学们看多米诺骨牌的视频。情境三：播放多米诺骨牌视频问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？设计意图：首先通过两个数学史上有名的归纳法案例探究激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性。回顾等差数列通项公式推导过程点出两种归纳法的不同特点。通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔。最后顺势用多米诺骨牌引出数学归纳法，并揭示数学归纳法的原理。（二）师生合作，探究新知探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。（此问题由学生合作交流完成，必要时，教师重新播发视频或给予提示。）探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对证明等差数列的通项公式有些启发？（证明本题对任意正整数都成立相当于验证让骨牌全部倒下的条件）通过以上合作交流，以及使骨牌全部倒下的两个条件，此时，师生共同探究得到解决引例的方法：（1）第一块骨牌倒下相当于证明当n=1时，命题成立；（2）对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，相当于当n=k(k≥1,k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。师：（投影）证明an=a1+(n-1)d：（1）当1n时，左边1a，右边110ada，等式是成立的。（2）假设当kn时等式成立，就是dkaak)1(1，下面看看是否能推出n1k时等式也成立，那么1ka等于什么？生：由dkaak)1(1可得dkaak1)1(11。师：看来1kn时等式也成立，这样做对吗？生：（齐答）不对。师：用数学归纳法证明数学命题时，难点和关键都在第二步，而这一步主要在于合理运用归纳假设，即以“n=k时命题成立”为条件，证明“证n=k+1时命题也成立”。这里容易出现的错误是证明中不使用“n=k时命题成立”这个条件，而直接将n=k+1代入命题，便断言此命题成立，从而得出原命题成立的结论。下面请同学们给出正确的证明过程。（学生齐答，教师继续板书）ddkadaakk)1(11dka1)1(1。这就是说，当1kn时，等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？生：n=1时等式成立n=2时等式成立n=3时等式成立……所以n取任何正整数等式都成立。师：我再补充一点：完成第一步、第二步后，必须要下结论，其格式为：根据(1)(2)可知公式对任意*Nn都成立.探究三：第一块骨牌不倒行不行？假如从第二块、第三块骨牌开始将骨牌推倒，结果会是怎样？（第一块骨牌必须倒，才能让所有的骨牌倒下。如果从第二块或第三块开始倒，则只能让该块骨牌后面的全部倒下。）此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性，同时也说明在证明与正整数有关问题时，n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可以取其它正整数。（三）理解升华，加深认识师：（板书）“数学归纳法”1、数学归纳法的原理：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立。只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。上述方法叫做数学归纳法。2、数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）师：用数学归纳法证题时，两个步骤各起到了怎样的作用呢？生：第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据。师：回答的很好，我再强调一点：数学归纳法证题时这两个步骤缺一不可，只有把两个步骤中的结论结合起来，才能断定命题成立。设计意图：至此，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理,揭示递推过程。教师强调数学归纳法特点。数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法。（四）错例辨析，突出重点1、求证：所有的奇数都是2的倍数。证明：假设第m个奇数为k，且k为2的倍数，则第m+1个奇数为k+2，而k+2也是2的倍数，所以命题成立。2、用数学归纳法证明：1352…+(2n-1)=n证明：（1）当1n时，左边1，右边211，等式成立；（2）假设当nk（k≥1,kN*）时，1352…+(2k-1)=k，那么：2[12(1)1](1)135(1)2kkk…+(2k-1)+(2k+1)=，则当1nk时也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何*nN都成立。注：①对例1，师先让学生讨论一下数学归纳法中没有第一步行不行，进而说出这个例子，让学生理解当0nn时，命题成立的重要性，没有第一步，就如同空中阁楼，是不可靠的。另外在例1中，让学生明白假设是错误的，此处并不是把假设当作条件来用，数学归纳法的第二步其实是一个条件命题，第一步已经验证是正确的，如果有怀疑，第二步中k可以取n0，这其实是在证明一个传递性。②对例2，师首先说明在利用数学归纳法证题时，当1nk时的证明必须利用nk的归纳假设，并用课本上的思考题举例：即猜想证明nan1,在111kak得到时必须要利用kak1这一步。然后请学生观察例2并从中找出错误（第二步中的错误是没有利用n=k的假设进行证明，而直接利用了等差数列求和公式），以增强学生对第二步的理解。设计意图：通过对两个错误例题的分析，加深学生对数学归纳法的原理的理解，从而正确掌握数学归纳法的两个步骤。（五）典例分析例1：用数学归纳法证明汉诺塔猜想。师：（板书）1、猜想：H（n)=2n-12、证明：（1）n=1时，H（1）=1，显然命题成立；（2）假设n=k（k≥1,kN*)时,命题成立，即H（k)=2k-1；则由H（k）=2H（k-1）+1得H(k+1)=2H(k)+1=2×（2k－1）+1=21k－1，即当n=k+1时，命题也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何*nN都成立。注：汉诺塔是根据一个传说形成的一个问题：有三根杆子A，B，C。A杆上有n个(n1)穿孔圆盘，盘不能叠在小盘上面。(提示：可将圆盘临时置于B杆，也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆，但都必须尊循上述两条规则。)问：如何移？最少要移动多少次？变量设置：n为圆盘个数，H（n）为移动盘子次数的最小值。递推公式：H（n）=2H（n-1）+1通项公式：H（n）=2^n-1例2、用数学归纳法证明222*(1)(21)123()6nnnnN2…+n证明：（1）当1n时，左边211，右边1(11)(211)16，等式成立；（2）假设当*),1(Nkkkn当时，等式成立，即：222(1)(21)1236kkk2…+k，那么：222222(1)(21)123(1)(1)6(1)(276)6(1)(2)(23)6(1)[(1)1][2(1)1]6kkkkkkkkkkkkkk2…+k设计意图：通过典型例题使学生探究尝试，体验“观察—归纳—猜想—证明”的完整过程，既能进一步熟悉数学归纳法，也能培养学生独立研究数学问题的意识和能力。师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。（六）反馈练习，加深理解1、证明：当自然数n≥1，3｜（n3+2n)2、证明：当自然数n≥4，2n＜n!3、证明：当自然数n≥１，）1(1)1(n1431321211nnn设计意图：通过这几个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况。这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点，对例题是一个很好的对比与补充。（七）拓展练习，提高能力习题1、平面上有n条直线，其中没有两条直线平行，没有三条直线交于同一点。用数学归纳法证明：他们共有交点21n