HK文章讨论

关于H&K论文讨论的若干问题一、WKBJ理论简介1.WKBJ理论又称WKBJ近似，或WKB近似。考察描述波动的二阶常微分方程0222ldzd（1）当l为常数时，其复数形式解为：)exp(ilzA（2）A是振幅，l为z方向的波数一般的说，波动在z方向不可能是完全均匀的，即l是z的函数，但如果l变化是足够小的，其波动解的形式仍是相似的。2.由（1）式求)(z若)(22zll，但l随z变化是足够慢的，则形式解为)(z=iAe，其中A，Φ为实数，对)(z求对z的微分，并代入（1）z=)(AiAzziezz=AAiiAAzzzzzzz2)(2ie代入（1），整理后可得：实数部分：2)(zA+Al2=zzA（3）虚部为：zzA+zzA2=0（4）由（3）222)(lAAlzzz（5）∵A是振幅，变化也是缓慢的∴AAzz＜＜2l∴z=lldz由（4）AAzzzz2dzAddzdzlnln21∴Az21)(∴2/1lA（因为A为实数，仅取实数部分）∴)(z=2/1l)exp(ldzil)(z0称为临界层WKBJ理论不适用0l)(z称为转向点WKBJ理论不适用二．行星波动力学若干问题§1.缓变平均气流中Rossby波传播线性化准地转位涡方程)(__xut2´+zfs20(2Nsz')+0__'yqx（5.1.1）为简化起见，令N²=常数，__u≌__u(z)是z的函数形式解为：'=Hztlykxi2)(exp（5.1.2）容易得到必满足下式22z+{cuyqfN____02)(41222022lkfNH}=0（5.1.3）yq__-2__2220zuNf-zuH__1（5.1.4）（上式中，若令zuzu0__)(即为Charney问题）此处求WKBJ解，即为式0)(22zfz（5.1.5）)(zf=cuyqfN____02)(41222022lkfNH(5.1.6)WKBJ给出一个试验解：1y=4/1)(zfdzzfi2/1)(exp（5.1.7）即该解应满足下列微分方程：''1y+12''')(16541)(yffffzf=0（5.1.8）如果（5.1.8）中方括号中很小，（5.1.7）是（5.1.5）的解即ff''＜＜f2')(ff＜＜f（5.1.9）只要f变化的尺度比垂直波长大，上面不等式就成立。f→0时，则不成立。如果条件满足，可得（5.1.5）的近似解，并满足局地频散关系，其振幅正比于4/1)(zf,)(zf→0时振幅无穷大。§2.射线理论如果WKBJ要求的条件都能满足，则可以用波射线理论确定波在某一方向的传播，（5.1.7）一般形式为：=),(exp),(tXitXA（5.2.1）e.g.)(tmzlykx其中),(tXA是振幅函数，),(tX是位相函数，因此波数与频率为:iiKx,t（5.2.2）用波数和频率定义位相函数，即为频散关系。=),,,,(32132,1xxxKKK（5.2.3）群速近似为：jgjKC（5.2.4）群速度不仅是波数的函数，也是位置的函数，特别包含)(__zu,一般的说，当波近似正弦且满足局地频散关系，则（5.2.4）成立。当一线性系统中波动在非均匀介质中传播时，波数会随着摩擦作用变化，但频率不变化，因为在线性系统中不同频率的波之间没有能量交换，但如果考虑傅立叶系数随时间变化就不同了。∴t=),,,(3,2,13212XXXXXX（5.2.5）将上式对iX求微分tXi2=ijjXKK+iX=jK)(2jiXX+iX因为(5.2.2)iiKx或者：tKi+jigjXKC=jX（5.2.6）（其中应用到iiKX，gjjCK，且jigjXKC可分解为xKCigx+yKCigy+zKCigz）由（5.2.6）得到dtdKi=iX（5.2.7）把波数个别变化与频率随位置变化联系起来由群速定义jgjKC，可以得到dtdXi=iK=giC（5.2.8）给出了射线或群速度所沿的路径iX是群速度的积分曲线。为了说明频率沿射线不变，取（5.2.3）频率关系的导数，dtd=dtdKKiidtdXXiii（5.2.9）由（5.2.7）和（5.2.8），右边为零∴（5.2.7）和（5.2.8）用来定义波群沿的射线，（5.2.9）可检查计算结果是否对。§3.正压波动在球面上的传播波源（山地或热力），热带外遥响应在300hpa最强，由（5.1.3）可得：Kyqkuk/____其中：)41(22220222HNNflkK∴2__22KqkkkCygx（5.4.1）2__2KqkllCygy（5.4.2）2__202KqknfnCygz（5.4.3）可见，能给出经向和纬向群速度极大值的垂直模（mode）n是当K2最小时。当然，当n=i/2H时最好。对均质而言，这是自由波动。自由波动没有倾斜，也没有垂直速度或垂直能量传播。可见，强迫源外，响应是相当正压结构。因此可考虑正压问题。考虑Mercator投影坐标ax]cos)sin1ln[(ay（5.4.4）cos1a=xacos1,a1=yacos1（5.4.5）2=2cos1a)(2222yx（5.4.6）ayhseccosaytanhsin（5.4.7）基本气流cos/____UUM（5.4.8）正比于角速度。因此，正压无辐散线性化涡度方程为：)(__xUtM)(2222yx+xM=0（5.4.9）其中：M=)]*(coscos1[cos2___222MUyya（5.4.10）即为绝对涡度的经向梯度乘以cos适宜于（5.4.9）的频散关系为：2__KkUMM（5.4.11）222lkK群速度分量为422KkkCMgx（5.4.12）42KkllCMgy（5.4.13）能量沿射线传播。因此可见，频散关系中不依赖于x，则K和ω沿射线将保持为常数，而l变化，以满足（5.4.11）。（方程中仅有x变量，类似于一个通道）考虑定常情况，定常波0由（5.4.12）和（5.4.13）,射线作为下式的解给出gxgyCCdxdy0kl（5.4.14）沿射线2K常数MMUKlk__222/（5.4.15）由（5.4.12）和（5.4.13）可知，群速度大小为：gC=2/122)(gygxCC=2MsUKk__因为：02422)2(KkCMgx;242)2(KklCMgy212224)()2(lkKkCMgx=sMKKk42=MssUKKKk__42****2=2MsUKk__（5.4.16）其中22KKs因为K/Ks为波数向量（k，l）于x轴间夹角的余弦。为平均气流方向，因此，（5.4.16）表明：能量沿射线，在射线方向上以两倍于基本气流速度传播。再从（5.4.12）与（5.4.13）可见，波数向量与群速度平行∴kldxdy//条件下0l时，sK=常数转向点cyy时，0u时，截陷0gC当为常数角动量时，可以很容易求出射线____aUM，即____cosAU其中，__是与纬向平均气流有关的常数角速度由（5.4.10）有：)(cos2__2aM（5.4.17）)/(cosaKs（5.4.18）其中：1____2)](2[因为：____22__)(cos2/aaKUsMM（简化可得上式）由（5.4.14）和（5.4.15）可给出射线2/122)1(KKdxdys（5.4.19）222lkKs122KKs=222KKKs=22kl（5.4.19）成立。kldxdy//dddxdy1)(cos(由（5.4.5）的坐标所得)用（5.4.18）与（5.4.19）积分dd=cos2/122)1(KKs=2/121)/cos(coska=2/121)cos(cosak=2/121)coscos(cos（其中：akcos）积分取0:0:得)sin(tantan0（5.4.20）（5.4.20）为一个大圆方程，过0和0点到达纬度由（5.4.18）可知。其处kKs，0l。由（5.4.16）和（5.4.18），能量在大圆上传播速度为：____cos22aakUKkCMsg（5.4.21）由麦卡托投影换到球面上：gC=)(2__aakgC为一常数，正比于波数K由上可见，球面上Rossby波能量传播（频散）为一射线，在定常角度时，路径为一大圆。