GM(1_1)模型,灰色预测

小额贷款远程智能预警系统人数预测算法的设计一、灰色系统的引入：灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述.灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。灰色模型的优点（一）不需要大量的样本。（二）样本不需要有规律性分布。（三）计算工作量小。（四）定量分析结果与定性分析结果不会不一致。（五）可用于近期、短期，和中长期预测。（六）灰色预测精准度高。二、GM（1,1）模型（greymodel一阶一个变量的灰微分方程模型）灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。GM（1,1）的具体模型计算式设非负原始序列nxxxX)0()0()0()0(,...,2,1对)0(X作一次累加kiixkx1)0()1(;k=1,2,…,n得到生成数列为nxxxX)1()1()1()1(,...,2,1于是kx)0(的GM（1,1）白化微分方程为uaxdtdx)1()1((1—1)其中a,u为待定参数，将上式离散化，即得ukxazkx11)1()1()1(（1—2）其中1)1()1(kx为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，)1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(kxkxkxkxkxkxr（1—3）1)1(kxz为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x的取值）kxkxkxz)1()1()1(1211（1—4）将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得ukxkxakx]121[1)1()1()0(（1—5）将（1—5）式展开得uanxnxxxxxnxxx1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0(（1—6）令nxxxY)0()0()0(:32，1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(nxnxxxxxB，Tua为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成BY（1—7）参数向量可用最小二乘法求取，即YBBBuaTTT1ˆ,ˆˆ（1—8）把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为aueauxkxkaˆˆˆˆ11ˆ)1()1(（1—9）还原到原始数据得kaaeauxekxkxkxˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ（1—10）（1—9）、（1—10）式称为GM（1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM（1,1）模型灰色预测的具体计算公式。建立灰色预测模型的一般步骤第一步：级比检验，建模可行性分析。第二步：数据变换处理。第三步：用GM(1,1)建模。第四步：模型检验。三、灰建模事例北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据序号年份Leq1198671.12198772.43198872.44198972.15199071.46199172.07199271.6表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)]第一步：级比检验，建模可行性分析。1、建立交通噪声平均声级数据时间序列：)6.71,...,4,72,1.71(7,...,2,1)0()0()0()0(xxxX2、求级比：kxkxk)0()0(10059.1,9917.0,0098.1,0042.1,0000.1,9820.07,...,3,23、级比判断：1212,nneek由于所有的284025417.1,778800783.0k，（k=2,3,…7），故可以用)0(X作满意的GM（1,1）建模。（注：由此处可见，当样本数量增加时，GM模型能够接受的相邻两个样本的变化范围变小，正常情况上公司每天的上班人数基本恒定，因此可以在样本数量的选择和可能的变换范围之间作一个平衡：n取20时，允许的变化范围大致为（0.91,1.1）；n取40时，允许的变化范围大致是（0.95，1.05）…在进行预测时，只要使用最新的n组数据即可）第二步：用GM（1,1）建模1、对原始数据)0(X作一次累加：kmmxkx1)0()1()(（k=1,2,…,7）得：7,...,2,1)1(11)1(xxxX=（71.1，143.5，215.9,288,359.4,431.4,503）2、构造数据矩阵B以及数据向量Y：2.467)7()6(21)7(4.395)6()5(21)6(7.323)5()4(21)5(95.251)4()3(21)4(7.179)3()2(21)3(3.107)2()1(21)2()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(xxzxxzxxzxxzxxzxxz于是可以得6.710.724.711.724.724.72)7()6()5()4()3()2()0()0()0()0()0()0(xxxxxxY，12.46714.35917.323195.25117.17913.1071)7(1)6(1)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1()1()1(zzzzzzB3、用最小二乘法估计求参数列Tua6572696.7200234379.0ˆ,ˆˆ1YBBBuaTTT于是可以得到00234379.0ˆa，6572696.72ˆu4、建立模型6572696.72)(00234379.0)()1()0(kzkx解得时间响应序列为aueauxkxkaˆˆˆˆ11ˆ)1()1(=95259.3099985259.3092800234379.0ke5、求生成数列值1ˆ)1(kx及模型还原值1xˆ(0)k；令k=1,2,…,6带入时间响应函数即可得到kx)1(ˆ其中取1.71)1()1(ˆ)1(ˆ)1()0()1(xxx由kaaeauxekxkxkxˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ，得到还原值)7(ˆ),...,2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0(xxxX=（71.1,72.4,72.2,72.1,71.9,71.7,71.6）第三步：模型的误差分析由此可见，该模型精确度较高，可以进行预报及预测。备注：灰色模型的创建者邓聚龙已经证明，只需要4个数据就可以建立GM（1，1）模型经典GM（1,1）模型要求发展系数|a|2，且a的值越接近0，预测的结果越精确。这一点对于预测公司每日上班人数等变化不大的数据无疑是有利的。樊肇楠2013.04.24序号年份Leq原始值Leq模型值残差相对误差1198671.171.1002198772.472.4003198872.472.20.20.28%4198972.172.1005199071.471.9-0.50.70%6199172.071.70.30.42%7199271.671.6006.2.1.2模型建立步骤（1）级比检验，建模可行性分析。（2）数据变换处理（3）用GM（1,1）建模设非负原始序列nxxxX)0()0()0()0(,...,2,1对)0(X作一次累加kiixkx1)0()1(;k=1,2,…,n得到生成数列为nxxxX)1()1()1()1(,...,2,1于是kx)0(的GM（1,1）白化微分方程为uaxdtdx)1()1((1—1)其中a,u为待定参数，将上式离散化，即得ukxazkx11)1()1()1(（1—2）其中1)1()1(kx为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，)1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(kxkxkxkxkxkxr（1—3）1)1(kxz为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x的取值）kxkxkxz)1()1()1(1211（1—4）将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得ukxkxakx]121[1)1()1()0(（1—5）将（1—5）式展开得uanxnxxxxxnxxx1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0(（1—6）令nxxxY)0()0()0(:32，1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(nxnxxxxxB，Tua为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成BY（1—7）参数向量可用最小二乘法求取为YBBBuaTTT1ˆ,ˆˆ（1—8）把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为aueauxkxkaˆˆˆˆ11ˆ)1()1(（1—9）还原到原始数据得kaaeauxekxkxkxˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ（1—10）（1—9）、（1—10）式称为GM（1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM（1,1）模型灰色预测的具体计算公式。（4）预测模型精度检验通过求得模型的相对误差，关联度，均方差比，小误差概率与灰色预测精度检验等级表（见表11）进行对比，只有通过检验的模型才能使用。