Matlab的应用-多项式函数及多项式拟合

Matlab的应用-多项式函数及多项式拟合本节将向大家简要介绍matlab在多项式处理方面的应用。多项式函数主要有：roots求多项式的根poly特征多项式polyval多项式的计算poly2str(p,'x')多项式代换polyfit多项式曲线拟合conv多项式乘法deconv多项式除法polyder微分多项式下面我们将介绍这些函数的用法：1，roots---求多项式的根格式:roots(c)说明:它表示计算一个多项式的根,此多项式系数是向量c的元素.如果c有n+1个元素,那么此多项式为:c(1)*x^n+c(2)*x^(n-1)+c(3)*x^(n-2)+--+c(n)*x+c(n+1)2，poly---特征多项式格式：poly(a)说明:（1）如果a是一个n阶矩阵,poly(a)是一个有n+1个元素的行向量,这n+1个元素是特征多项式的系数(降幂排列).（2）如果a是一个n维向量,则poly(a)是多项式(x-a(1))*(x-a(2))*..(x-a(n))，即该多项式以向量a的元素为根。3，polyval—多项式计算格式：polyval(v,s)说明:如果v是一个向量,它的元素是一个多项式的系数,那麽polyval(v,s)是多项式在s处的值.如果s是一个矩阵或是一个向量,则多项式在s中所有元素上求值例如:v=[1234];vv=poly2str(v,’s’)(即v=s^3+2*s^2+3*s+4)s=2;x=polyval(v,s)x=26例如:v=[1234];s=[24];polyval(v,s)ans=261124，conv-多项式乘法例：as=[123]as=123az=[2421]az=2421conv(as,az)ans=28161783conv(az,as)ans=281617835，deconv-多项式除法例：deconv(az,as)%返回结果是商式的系数ans=20[awwq,qw]=deconv(az,as)%awwq是商式的系数，qw是余式的系数awwq=20qw=00-416，polyder微分多项式polyder(as)ans=227，polyfit--多项式曲线拟合格式::polyfit(x,y,n)说明:polyfit(x,y,n)是找n次多项式p(x)的系数,这些系数满足在最小二乘法意义下p(x(i))~=y(i).“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。有人口统计年鉴，可查到我国从1949年至1994年人口数据资料如下：年份1949195419591964196919741979198419891994人口数(百万)541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.751106.761176.74如何确定我国人口的发展变化规律呢？一般地，我们采用下面的分析处理方法：首先，在直角坐标系上作出人口数与年份的散点图象。观察随着年份的增加人口数与年份变化关系，初步估计出他们之间的关系可近似地可看做一条直线。那么我们如何把这条直线方程确定出来呢？并用他来估计1999年我国的人口数。方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为N=14.088t–26915.842，代入t=1999,得N12.46亿方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t=1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。这就是曲线拟合的问题。方法一与方法二都具有一定的局限性，下面我们重点介绍数据的曲线拟合。所谓曲线拟合是指给定平面上的n个点(xi,yi),i=1,2,….,n,找出一条曲线使之与这些点相当吻合，这个过程称之为曲线拟合。最常见的曲线拟合是使用多项式来作拟合曲线。曲线拟合最常用的方法是最小二乘法。其原理是求f(x),使21])([iniiyxf达到最小。matlab提供了基本的多项式曲线拟合函数命令polyfit格式::polyfit(x,y,n)说明:polyfit(x,y,n)是找n次多项式p(x)的系数,这些系数满足在最小二乘法意义下p(x(i))~=y(i).已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好呢?可以根据散点图进行直观观察，在此基础上，选择几种曲线分别拟合，然后比较，观察那条曲线的最小二乘指标最小。下面我们给出常用的曲线（下面的,xy为变量，,ab等为参数）直线：yaxb多项式：121231....nnnnnyaxaxaxaxa(一般情况下，n不宜过高，n=2,3)双曲线：y=aybx指数曲线：bxyae幂函数：byax有些曲线的拟合，为了利用数学软件，在拟合前需作变量替换，化为对未知数的线性函数。思考：如果根据经验，曲线是双曲线aybx或指数曲线bxyae及幂函数byax等，如何利用matlab的多项式拟合函数来作曲线拟合？例2：在化学反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律。测得一组数据如下表所示：x(分)12345678浓度y46.48.08.49.289.59.79.86x(分)910111213141516浓度y1010.210.3210.4210.510.5510.5810.6试求浓度y与时间t的经验函数关系。并推断第20、40分钟时的浓度值。本题是一个可以用数据的曲线拟合来解决的问题。下面是利用matlab编的一段程序。clear;％录入数据xy=[1426.438.048.459.2869.579.789.869101010.21110.321210.421310.51410.551510.581610.6];x=xy(:,1);y=xy(:,2);plot(x,y,'r*');％画出散点图，观察曲线走势holdon;t=0:.3:10;pxdxs=polyfit(x,y,2);pxd=poly2str(pxdxs,'x')pxdx=polyval(pxdxs,t);plot(t,pxdx,'-k')方法2：解下述方程组：（这是超定方程组（方程个数大于未知数个数的方程），这个方程组没有普遍意义下的解，但可以在最小二乘法意义下求解）4*1*1^26.4*2*2^28.0*3*3^28.4*4*4^29.28*5*5^29.5*6*6^29.7*7*7^29.86*8*8^210*9*9^210.2*10*10^210.32*11*11^210.42*12*12^210.5*1=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++=+abcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcab3*13^210.55*14*14^210.58*15*15^210.6*16*16^2ìïïïïïïïïïïïïïïíïïïïïïïï+ïï=++ïï=++ïï=++îcabcabcabc把它写成矩阵乘法的形式：y＝a*[a,b,c]'其中，a=[1,1,1;122^2;133^2;144^2;155^2;166^2;177^2;188^2;199^2;11010^2;…11111^2;11212^2;11313^2;11414^2;11515^2;11616^2];y=[46.48.08.49.289.59.79.861010.210.3210.4210.510.5510.5810.6]';于是，abc=a\y