Poisson过程中到达时刻的分布

11引言与准备齐次Poisson过程是一类重要的随机过程，也是深入研究随机过程的必然环节.其中的事件来到时间间隔序列{,}nXn1和事件的到达时刻序列{,}nSn1的诸多分布规律构成Poisson过程理论的重要组成部分.在本文里，我们运用二项分布和多项分布公式等基本工具推导出一系列等待时间的分布.为方便起见，先给出必备的定义和引理.定义1.1若计数过程{,}tNt0满足（1）00N；（2）过程具有独立增量性；（3）)(,nNPts)(!)]([stnsten，则称{,}tNt0为强度为的齐次Poisson过程.定义1.2在强度为的齐次Poisson过程中，记第n1个与第n个事件之间的时间为nX，称为来到时间间隔；记第n个事件的等待时间为nS.显然有nS=nkkX1定义1.3随机向量(,,,)nXXX12的密度函数可由以下公式得到(,,,)nfxxx12,,,limnbaxxnFxxx1012=,,{(,]}limnnxxnPXabxxx1012其中b=(,,,)nxxx12，a=(,,,)nnxxxxxx1122nX=(,,,)nXXX12，,baF为n元分布函数(,,,)nFxxx12的n阶差分[]1.定义1.4设,,,nYYY12为一组随机变量，以()kY记,,,nYYY12中第k个最小者，,,,kn12，则称（()()(),,,nYYY12）为,,,nYYY12的顺序统计量.定义1.5n次重复独立的试验中，每次试验可能有若干个结果,把每次试验的可能结果记为rAAA,,,21,而iipAP)(,ri,,2,1且121rppp.称此试验为推广的n重贝努利试验.引理1[]2在强度为的齐次Poisson过程中，来到时间间隔序列{,}nXn1独立且服从期望为1/的指数分布.引理2[]2设随机变量U1，U2，，nU独立同(,]t0上均匀分布，则其顺序统计量()()()(,,,)nUUU12的联合密度函数为*(,,,)nfuuu12=!nnt，nuuut120引理3[]2()stPNkNn=()()kknkssnttC1，st0，,,,,kn012此引理表明：条件随机变量()stNNn~(,)stbn.也就是说，在不考虑次序的情况下，已2经到达的n个事件中的任何一个，其等待时间都服从(,]t0上的均匀分布，且与其他到达时刻独立.引理4[]3（多项分布公式）在推广的n重贝努利试验中,1A出现1k次，2A出现2k次，,rA出现rk的概率为rrkrkkkkknppp212121!!!!,0ik,nkkkr21.2对到达时刻的研究定理1(,,,)ntSSSNn12!~(,,,)nnntfsssn12，nssst120即(,,,)ntSSSNn12与()()()(,,,)nUUU12同分布.证明由引理3，4(,,)nnnntPssSsssSsNn1111=!!!!!!()()()()()nnnnnsssstssssnttttt11110101001010，所以(,,,)nfsssn12,,{(,]}limnnnnntssnPSssNtsss1012=!nnt推论1()~(,]tSNUt110证明在定理1中，令n1即可得结论.推论2((,])nnnntPSssNn!nnnjtjs1其中，(,,)nnSSSS12，(,,)nnssss12，(,,)nn12推论3()kU不再服从(,]Ut0，其密度函数由下面的定理2给出．推论3的正确性是由于()kU与()ktSNn同分布．定理2()ktSNn~()ktSNnfsn=!()!()!()kknknssknktt111证明依据引理4()ktPssSsNn=!!()!()!()()()knknssstsknkttt1111，因此()ktSNnfsn=()limktsPssSsNns0=!()!()!()()knknssknkttt1111，证完．定理3~(,)nSn，亦即密度()()!(),nnssSnses110证明考虑到{}nssSs{}sNn，因此3{}nPssSs={,}nSPssSsNn={}nsPssSsNn()sPNn=()!()!!!()()nsnsnsssnssne1111从而()nSs()limnsPssSss0=()()!,nssnes110，证完.定理4(,,,)ktSSSNn12()!()!~(,,,)nkkntsnknktfsssn12（kn1）kssst120证明((,])kkkktPSssNn=!!!!!()!()()()()()kkkkksssstssssnknnkttttt111101010101从而(,,,)kfsssn12,,{(,]}limkkkkktsskPSssNtsss1012=()!()!nkkntsnnkt，证完．定理5(,,)nSSS12~(,,,)nsnnfssse12，nsss120证明考虑到{(,]}{}nnnnnsSssNn，得{(,]}nnnnPSss{(,],}nnnnnsPSssNn={(,]}()nnnnnnssPSssNnPNn=()!!!!!!()()()()nnnnnnnnnnnsssssssssnssssne111101010101，所以(,,,)nfsss12,,{(,]}limnnnnnssnPSsssss1012=nsne，证完.定理6(,)ijSS~(,)ijfss()!()!()jsijijijiijissse11111，,ijssij0证明(,)iiiijjjjPssSsssSs=(,,)jiiiijjjjsPssSsssSsNj=(,)()jjiiiijjjjssPssSsssSsNjPNj=()!()!!()!!!()()()()jjjijjjiiijjjjsssssssssjijiijissssje11111111因此(,)ijfss,limijss0{,}iiiijjjjijPssSsssSsss4=()!()!()jsijijijiijissse11111=[()]()()()!()![][]ijijiiijissssssijiee1111，证完.注：~(,)iSi()()!~(),iiiSissiiises110由引理1及定理3，得jiijSSXX1与jijiSXX1同(,)ji分布，则有~jiSS[()]()()!()jijiSSjijissssjijisse11所以(,)ijfss()Siis()SSjijiss运用相同的方法，可获得随机向量(,,)knnnSSS12的联合概率密度：(,,,)knnnfsss12()Snns11()SSnnnnss2112()kkSSnnkknnss11，knnnsss120其中()iiSSnniinnss11[()]()()!iinnnniiiiiinnssssnne111111，iinnss10