MRF图像分割(增删).

马尔科夫与图像处理基于马尔代夫随机场的土象分割马尔科夫马尔科夫随机过程就是，下一个时间点的状态只与当前的状态有关系，而与以前的状态没有关系，即未来的状态决定于现在而不决定于过去。其未来由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识丝毫不影响这种决定性。这种在已知“现在”的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫过程马尔科夫过程0111100,11,,,,,,{|,}{|},nnnnnnnnnnnXnTnTiiiIPXiXiXiPXiXiXnT设有随机过程若对于任意正整数和任意的条件概率满足就称为马尔科夫过程，该随机过程的统计特性完全由条件概率所决定例如：假定天气是马尔科夫的，其意思就是我们假设今天的天气仅仅与昨天的天气存在概率上的关联，而与前天及前天以前的天气没有关系。其它如传染病和谣言的传播规律，都是马尔科夫的。荷花池里有N张荷叶，在时刻Tn时，Xn为时刻Tn青蛙所处的状态。P(Xn+1=j/Xn=i)=Pi,j,其中，i,j=1,2,…N.表示在Tn时刻青蛙在第i张荷叶上。在下一个时刻Tn+1跳到第j张荷叶上的可能性，又称为从状态i经一步转移到j的概率，简称为一步转移概率。将这些Pi,j依序排列起来，就构成一个矩阵，叫做转移概率矩阵。P11P12...P1nP=[P21P22...P2n]...Pn1Pn2...Pnn马尔科夫预测例如：A,B,C三个厂生产的电脑上公司在某地区市场上的占有率分别为0.3，0.2，0.5。根据市场调查得知、顾客的流动情况如下：ABCA0.40.30.3B0.60.30.1C0.60.10.3市场的初始状态为S(0)=(0.3,0.2,0.5)转移概率P为0.40.30.3P=[0.60.30.1]0.60.10.3S(1)=S(0)*P=(0.54,0.20,0.26),这个月A,B,C电脑的市场占有率为54%,20%,26%S(2)=S(1)*p=S(0)*P^2=(0.492,0.248,0.26),下个月A,B,C电脑的市场占有率为49.2%，24.8%，26%例如：我在不同天气状态下去做一些事情的概率不同，（观察状态）天气状态集合为{下雨，阴天，晴天}，（隐藏状态）事情集合为{宅着，自习，游玩}。假如我们已经有了转移概率和输出概率，即P(天气A|天气B)和P(事情a|天气A)的概率都已知道，那么我们可以解决：假如一周内的天气变化是下雨-晴天-阴天-下雨-阴天-晴天-阴天，那么我这一周自习-宅着-游玩-自习-游玩-宅着-自习的概率。假如一周内的天气变化是下雨-晴天-阴天-下雨-阴天-晴天-阴天，那我们这一周最有可能的做事序列。这些可以通过隐马尔科夫模型得到结果。马尔科夫随机场马尔科夫随机场包含两层意思马尔科夫性质随机场随机场当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一个值之后，其全体就叫做随机场。其中有两个概念：位置（site），相空间（phasespace）。我们可以拿种地来打个比方。“位置”好比是一亩亩农田；“相空间”好比是要种的各种庄稼。我们可以给不同的地种上不同的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”，赋予相空间里不同的值。所以，随机场就好比是在哪块地里种什么庄稼的事情。马尔科夫随机场同样拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄稼的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼的种类有关，与其它地方的庄稼的种类无关，那么这些地里种的庄稼的集合，就是一个马尔可夫随机场。马尔科夫随机场与图像的关系一维马尔科夫随机过程很好的描述随机过程中某点的状态只与该点之前的一个点的状态有关系。对于定义在二维空间上的图像，也可以将它看为一个二维随机场。那么就存在二维马尔科夫随机场,将时间上的马尔科夫性转换到空间上，考虑空间的关系,二维MRF的平面网格结构可以较好的表现图像中像素之间的空间相关性。马尔科夫图像模型MRF将图像模拟成一个随机变量组成的网格，其中的每一个变量对明确的对其自身之外的随机变量组成的邻近基团具有依赖性。该模型考虑每个像元关于它的邻近像元的条件分布，有效地描述图像的局部统计特性。基本定义S{(,)|1,1}MNijiMjN设表示位置的有限格点集即随机场中的位置={1,2L}，表示状态空间，即随机场中的相空间图像分割问题要求解的是满足最大后验概率准则的对每个像素的分类标号，我们统一称为标号场，记为X。xs∈，表示在标号场X上，状态空间为Λ的隐状态随机变量。12*(,,...,)MNsssXxxx在图像中格点集S表示像素的位置X称为标号场，也可以表示像素值的集合或图像经小波变换后的小波系数集合L表示将图像分割为不同区域的数目，即标签集合邻域系统随机场（RandomFiled）中，利用邻域系统可以分析空间上的马尔科夫性。一个像素点的特性，更可能受它周围像素的影响，与它距离越远的像素，对它的特性的影响越小。邻域系统={()|}SssS设是定义在上的通用邻域系统的集合，其满足如下特性：(1)()(2)()(3),,()()()s()ssSsssrSsrrsrss则位置称作的邻点，称作的邻点集分阶邻域系统与子团在图像模型中，可以根据对象元的距离建立一种分阶邻域系统，定义如下：()()(+1)(){|(,),},()0,()()nnnsrdsrnrsndnss式中为邻域系统的阶次，表示距离函数，经常使用欧氏距离，市区距离，棋盘距离等函数。对满足特性基团S中有不同的邻域结构，在S上由单个像元或由象元与其邻点组成的子集称为一个基团。子团c的集合用C来表示。cS分阶邻域系统与基团示例SX={x,sS}1P{X=}0,x(2)P{X=x|,,()}{X=x|,()}XsssrrssrrXxrsrsPXxrs设为上的邻域系统，若随机场满足如下条件：（）x则称为以为邻域系统的马尔科夫随机场，上式称为马尔科夫随机场的局部特性马尔科夫随机场MRFssss邻域系统的的含义：在任意格点的其余格点位置上随机变量x取值已知的条件下，随机场在格点处的取值概率只与格点的相邻点有关。P()P(|)在图像中，表示标号场的先验概率，表示邻域系统标号的局部作用关系MRF与Gibbs分布的等价性由于Markov随机场是用来描述图像的局部性质，而Gibbs随机场由随机场的全局性质来刻画。可以将两个随机场联系起来。20世纪80年代Hammersley-Clifford给出了Gibbs分布与MRF关系。Harmmersley-Clifford定理：邻域系统M在集合S中，若S上随机场X符合Gibbs随机场，那么X也是一个Markov随机场。从而用Gibbs分布求解MRF中的概率分布，相应的MRF模型的结构信息就可以由Gibbs分布的表达式可以描述。MRF与Gibbs分布的等价关系Gibbs分布：()SX={x,}P()(1/)exp{()}XxXXS()()()cscccCUxxsSXxZUxUxVxVxZe是定义在上的邻域系统，当且仅当随机场的联合概率分布具有如下形式：则称为吉布斯随机场，式中是随机场的一“实现”，即在格点集上的一组态。称为能量函数，是仅与子团内各象元值有关的子团势函数称为配分函数，是一个归一化常数MRF与Gibbs分布的等价关系Gibbs分布与MRF的等价条件：一个随机场是关于邻域系统的MRF，当且仅当这个随机场是关于邻域系统的Gibbs分布，表示为：1exp((|))P(|,())exp((|))scsrcCsrLcsrxcCVxxxxrsVxx通过能量函数确定MRF的条件概率，从而使其在全局上具有一致性。通过单个像素及其领域的简单的局部交互，MRF模型可以获得复杂的全局行为。即计算局部的Gibbs分布得到全局的统计结果。上式解决了求MRF中概率分布的难题,使对MRF的研究转化为对势函数Vc(x)的研究。贝叶斯公式用来描述两个条件概率之间的关系，比如P(A|B)和P(B|A)。按照乘法法则：P(A∩B)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)。事件A在事件B(发生)的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的。P(A)是A的先验概率或边缘概率。所以称为先验是因为它不考虑任何B方面的因素。P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也被称作A的后验概率。P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也被称作B的后验概率。P(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量。按这些术语，Bayes法则可表述为：后验概率=(似然度*先验概率)/标准化常量也就是说，后验概率与先验概率和似然度的乘积成正比。基于MRF的图像分割模型我们把图像的的分割问题转化为图像的标记问题。标记场是用来对待测对象的像素进行跟踪标记，特征场是拟合原始的观测数据，尽可能准确的反映每一个像素位置的特征信息，使图像分割的结果中能够保留更多的细节信息。根据贝叶斯估计准则和最大后验概率准则，将后验概率转换为先验概率与似然函数的乘积，似然函数同城是一个高斯分布，而先验概率通过MRF转换为Gibbs分布得到，最后更新标号场使得成绩最大，得到最佳分割。M*NYy,x,X={x,}1,2,LY={,}iiiiiiSxLyiS对于一幅给定的的图像，其中任意一个像素分割后对应的标记为定义两个随机场：是图像分割后的类别标号场，表示分割成个区域，但其类别状态不能直接观察到。是可观测的随机场，即图像的观测灰度场，那么分割问题可以描述为：1arg12arg2,{1,2,*}arg(|)()Xargmax(|)argmax()iiiXXitetitetyYxxXiMNLitetLpYXpXpXYpY根据贝叶斯准则，最优分割准则为：**111Ypargmax(|)()XMRFMarkovMRFGibbsexp()p()exp()()cCiXMNciMNcCiiLicixcCciipYXpXVxpxVxxx对于一幅给定的图像，已知，所以(Y)为常数，故上式等价于:由于随机场是，具有正概率性和性。由与分布的等价性可知(X)=式中V是包含的基团的势函数，是所有基团的集合势函数选择由Potts模型有：，则()(,)1ciijiVxxxjN()[(,)1]iiiciiijcjNuxVxxxC1(,)0ijijijxxxxxx观测量似然概率在给定类别标号时，通常认为像素强度值服从参数为高斯分布ixℓ,iℓℓ222(|)12exp(()2)iiiPyxyℓℓℓ基于最大后验概率(MAP)准则的图像分割，就是求标记集，使得关于的后验概率分布最大。考虑计算效率问题，采用条件迭代模式（ICM）方法。ICM算法是一个迭代算法，通过逐元的最大化条件概率实现像元值更新，即：1,2,...,ˆargmax,iiiiiiNxCxfyxfxxiSICM迭代算法1.对要计算的每一个点的状态进行初始化，状态记为w0取k=0；2.从像素1到像素MN,计算每个像素点在取不同状态的局部能量值，选择能使局部能量值达到最小的状态作为该点的当前状态值。3.比较每个点取不同状态的局部能量值，选择能使局部能量达到最小的状态最为该点的当前状态值。4，重复2~3，直至收敛。Step1：给定图像初始分割（通过阈值法或聚类方法）；Step2：由当前分割更新，和分别是当前第类区域的均值和标准方差；Step3：由当前图像参数和上次迭代的分割结果，并根据ICM式计算每一点最大可能的类别；Step4：判断是否收敛或达到了最高迭代