高中数学必修一知识点总结

数学笔记——王以然必修一第一章：集合第一节：集合的含义及表示一、定义：（描述性）一定范围内，某些确定的．．．、不同的．．．对象的全体．．构成一个集合二、表示：1.列举法：A={a、b}2.描述法：{x|p（x）}代表元分割线代表元满足的性质3.图示法：（数轴、Venn图）三、特点：确定性、互异性、无序性四、常用数集N自然数集N、N正整数集Z整数集Q有理数集R实数集五、元素与集合的关系aM、aM（两者必居其一）六、集合相等两个集合所含元素完全相同AB七、集合的分类1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含有任何元素的集合第二节：子集、全集、补集（一）子集一、定义（文字）A中的任一元素都属于B（符号）BA（或)AB（图形）BA或A(B)（二）真子集一、定义（文字）BA，且B中至少有一元素不属于A（符号）AB（或BA）（图形）BA注意空集是任何非空集合．．．．的真子集A（A为非空子集）（三）补集一、定义（文字）设UA，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集（符号）UAð={|,}xxUxA且（图形）第二节：子集、全集、补集（一）交集一、定义（文字）由所有属于集合A且．属于集合B的元素构成的集合称为A与B的交集（符号）{|,xxA且．}xB（图形）BA（二）并集一、定义（文字）由所有属于集合A或者．．属于集合B的元素构成的集合称为A与B的交集（符号）{|,xxA或．}xB（图形）BA1（三）区间设,ab是两个实数，且ab，规定闭区间axb[,]ab；开区间axb(,)ab；半开半闭区间（左闭右开）axb[,)ab（左开右闭）axb(,]ab,,,xaxaxbxb[,),(,),(,],(,)aabb．注意：对于集合{|}xaxb与区间(,)ab，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．第二章：函数第一节：函数的概念一、定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:fAB二、三要素：定义域、值域和对应法则三、相同函数：定义域相同，且对应法则也相同的两个函数四、函数定义域：1.()fx是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．2.()fx是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．3.对数函数的真数大于零4.对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零5.tanyx中，()2xkkZ．6.零（负）指数幂的底数不能为零．7.若()fx是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．8.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()fx的定义域为[,]ab，其复合函数[()]fgx的定义域应由不等式()agxb解出．9.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．10.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．五、求函数值域（最值）：1.观察法：初等坐标函数2.配方法：二次函数类3.判别式法：二次函数类2()4()()0byaycy4.不等式法：基本不等式5.换元法：变量代换、三角代换6.数形结合法：函数图象、几何方法7.函数的单调性法．8.分离常数法:反比例类六、函数的表示方法：解析法列表法图象法(不是所有函数都有图像)七、分段函数八、复合函数九、求函数解析式1.配凑（换元)法2.待定系数法:已知函数模型3.方程组法:互为相反数、互为倒数第二节：函数的简单性质(一)、单调性一、定义如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．x．．2．时，都有f(x．．．1．)f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x)1f(x)2o当x．1．x．．2．时，都有f(x．．．1．)f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxoxx2f(x)f(x)211注意1.不在区间．．内谈单调增或单调减都无意义2.端点不计入区间3.一般情况下单调区间不能并4.单调区间≠区间单调二、证明1.任取2.作差3.变形4.定号5.下结论三、证明1.定义2.初等坐标函数、已知函数3.函数图象（某个区间图象）4.复合函数：同増异减（二）、最值一、定义（1）一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的xI，都有()fxM②存在0xI，使得0()fxM．那么，我们称M是函数()fx的最大值，记作max()fxM．（2）一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的xI，都有()fxm②存在0xI，使得0()fxm．那么，我们称m是函数()fx的最小值，记作max()fxm．注意:开区间无最值二、题型定函数动区间动函数定区间注意:抓住对称轴和区间的相对关系（二）、奇偶性一、定义（1）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（2）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．二、证明1.定义域f(x)的定义域．．．为——任意的x——2.f(－x)与f(x)3.下结论正确——严格证明错误——举出反例奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数两个反例注意：1.分段函数要分段讨论2.0可单独讨论3.若函数()fx为奇函数，且在0x处有定义，则(0)0f三、应用1.定义（一般到一般）2.代“0”（特殊到一般）需检验四、奇偶性若奇函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调增若偶函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调减第三节：映射的概念一、定义设A、B是两个非空．．集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个．．．．元素，在集合B中都有唯一．．的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到B的映射，记作:fABB注意可用树状图考虑第三章：指数函数、对数函数和幂函数第一节：指数函数（一）、根式一、定义如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．根指数根式被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a．二、性质：(0)||(0)nnaaaaaa()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，．三、分数指数幂na(0,,,mnmnaaamnN且1)n．1.(0,,)rsrsaaaarsR2.()(0,,)rsrsaaarsR3.()(0,0,)rrrabababrR（二）指数函数一、定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数二、图像与性质名称指数函数图象1a01a定义域R值域(0,)奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数过定点（0,1）、（1，a）渐近线x轴01xayxy(0,1)O1y01xayxy(0,1)O1y三、图像移动及解析式变化平移变换0,0,|()()hhhhyfxyfxh左移个单位右移|个单位0,0,|()()kkkkyfxyfxk上移个单位下移|个单位伸缩变换01,1,()()yfxyfx伸缩01,1,()()AAyfxyAfx缩伸对称变换()()xyfxyfx轴()()yyfxyfx轴()()yfxyfx原点1()()yxyfxyfx直线()(||)yyyyfxyfx去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|xxyfxyfx保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去四、指数型复合函数换元取值范围、单调性同增异减初级坐标函数值域、单调性五、指数函数的应用1.审题归纳2.建模注意定义域“指数型函数”模型3.求解（解模）4.还原（结论——答）注意1.每一个步骤读一遍题2.注意定义域、精确度第二节：对数函数（一）对数一、定义如果a（．a．＞．0．，．a．≠．1．）．的b次幂等于N即ab=N那么就称b是以a为底N的对数记作logaN=b底数真数．二、互化log(0,1,0)xaxNaNaaNlog(0,1,0)xaxNaNaaNlog(0,1,0)xaxNaNaaNlog(0,1,0)xaxNaNaaNnalog(0,1,0)xaxNaNaaN对数底数真数底数指数幂根指数被开方数方根三、常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．四、运算1.加法：logloglog()aaaMNMN2.减法：logloglogaaaMMNN3.数乘：loglog()naanMMnR4.logaNaN5.loglog(0,)bnaanMMbnRb6.换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且（二）对数函数一、定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数二、图像与性质名称对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx过定点（1，0）、（a，1）渐近线y轴三、题型1.比较大小①利用单调性②利用图像（真数相同）③利用中间值2.解不等式3.求值4.判断奇偶性第三节：幂函数一、定义函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数一、图像与性质定义域：(0,)一定有定义过定点：(1,1)．单调性：[0,)上0，过原点、(0,)上为增函数．a=0，常函数0，(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qp（其中,pq互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数．图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方．第四节：函数的应用（一）、零点一、定义对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点二、意义函数)(xfy的零点方程0)(xf实数根函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标注意1.零点不是点2.穿过零点，y值变号y值变号，穿过零点（图像连续不断．．．．．．）三、求法1．（代数法）①证单调区间②零点定理1．（几何法）交点（二）、零点定理一、定义设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续．．，且f(a)×f(b)0，那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点二、应用（二次函数的实根分布）已知二次函数2()fxaxbxc（a＞0）设一元二次方程20(0)axbxca（a