88(多元函数的极值及其求法)

1§8.8多元函数的极值与最值一、多元函数的极值三、多元函数的条件极值的定义四、Lagrang(拉格朗日)乘数法二、多元函数的最值2一、多元函数的极值复习y=f(x),点0x极值的必要条件，极值的第一，第二充分条件.,极值的定义3的图形观察二元函数22yxexyz12定义若函数则称函数在该点取得极大值极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有(极小值).1.二元函数极值的定义注多元函数的极值也是局部的,内的值比较.是与P0的邻域一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极小值可能比极大值还大.13例2243yxz例22yxz例xyz在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.椭圆抛物面下半圆锥面马鞍面函数函数(也是最小值).函数xyzOxyzOxyzO142.二元函数极值的必要条件定理),(),(00yxyxfz在点设具有处且在点),(00yx则,0),(00yxfx.0),(00yxfy,偏导数,有极值证处在点),(),(00yxyxfz有极大值,不妨设的某邻域内任意则对于),(00yx),,(),(00yxyx都有),,(),(00yxfyxf,,00时当xxyy),,(),(000yxfyxf),(0yxf的极大值点,;0),(00yxfx.0),(00yxfy同理可证也有是一元函数0x15推广如果三元函数),,(),,(000zyxPzyxfu在点具有偏导数,则它在),,(000zyxP有极值的必要条件:,0),,(000zyxfx,0),,(000zyxfy.0),,(000zyxfz称为函数的驻点具有偏导的极值点类似一元函数,使一阶偏导数同时为零的点,驻点.例如,的是函数点xyz)0,0(驻点,但不是极值点.说明16例22yxz但(0,0)是函数的极大值点.所以，在研究函数的极值时,除讨论偏导数为0的点外,还应研究偏导数不存在的点.也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数不存在,说明偏导数不存在的点，xyzO极值点偏导数不存在的点驻点173.二元函数极值的充分条件定理),(),(00yxyxfz在点设有二阶连续偏导数,,0),(00yxfx又,0),(00yxfy,),(00Ayxfxx令,),(00Cyxfyy,),(00Byxfxy(1),02时BAC是极值,时当0A为极大值,时当0A为极小值;(2),02时BAC不是极值;(3)时02BAC可能是极值,也可能不是极值.则),(00yxf),(00yxf),(00yxf不能确定,需另行讨论.18求函数极值的一般步骤:),(yxfz①解方程组0),(0),(yxfyxfyx求出实数解,得驻点.②对于每一个驻点),,(00yx求出二阶偏导数的值.CBA、、③定出2BAC的符号,判定是否是极值.（此法判定不了的点及偏导数不全存在的点，用定义或其他方法判定是否为极值点）.19例解在点(0,0)处,在点(a,a)处,)0(3),(33ayxaxyyxf求函数03303322yaxfxayfyx).,(),0,0(aa驻点xxfAxyfByyfC)0,0(22)936(axyBAC)0,0(f227aaA6且aaaf),(的极值.0不是极值;是极大值.,0,6x,3a.6y0①解方程组②求CBA、、2BAC的符号29a),(22)936(aaaxyBAC③定出2004222xxzzzx解求由方程010422222zyxzyx.),(的极值确定的函数yxfz将方程两边分别对x,y求偏导数,04222yyzzzy由函数取极值的必要条件,令得驻点为),1,1(P法1)1,1(P将代入原方程,6,221zz有00yxzz21,21|zzAPxx,0|PxyzB,21|zzCPyyPPzBAC22)2(1)(f(1,－1)是极值.,0将上方程组再分别对x,y求偏导数,042222xxxxxzzzz）（042)(222yyyyyzzzz0422xyxyyxzzzzz04222xxzzzx04222yyzzzy6,221zz在驻点,)1,1(处P0,0yxzz代入方程组，得2222)2(1zBAC0,21时当z41A,02)1,1(fz为极小值;,62时当z41A,06)1,1(fz为极大值.zzAPxx21|0|PxyzBzzCPyy21|6,221zzf(1,－1)是极值.23求由方程010422222zyxzyx.),(的极值确定的函数yxfz解法2初等配方法方程可变形为16)2()1()1(222zyx22)1()1(162yxz,1,1时当yx根号中的极大值为4,42z为极值.6z为极大值,2z为极小值.24最大者即为最大值,最小者即为最小值.求二元连续函数在有界闭域D内的最值的一般步骤:①求函数在D内的所有嫌疑点②求函数在D的边界上的嫌疑点---③将所有嫌疑点的函数值相互比较,二、多元函数的最值若f(x,y)在有界闭域D上连续，则在D上必有最值.驻点；.偏导数不全存在的点边界上的最值点.当最值在区域内部取到,且只有一个极值点P时,(大)(大)为极小值)(Pf为最小值)(Pf特别的26解(1)求函数在D内的驻点（嫌疑点）由于所以函数在D内无极值点.(2)求函数在D边界上的最值点(最值只能在边界上)与在求函数0,0212yxyxxz1yx直线围成的三角形闭域D上的0最大(小)值.例xzx212yz1yxDxyO27①在边界线②在边界线最小,又在端点(1,0)处,yxxz212最大.yz2121xxz,21ddxxz,21x43)0,21(z有驻点函数值有,0x单调上升.2ddyz,0yz211)0,0(z3)1,0(z,0y.1)0,1(z,10上y,10上x1yxDxyO28③在边界线所以,最值在端点处.yxxz212)1(212xxxz函数单调下降,)0,21(z及43)0,21(z3)1,0(z,1yx233xxxxz23dd0),10(x(3)比较),0,0(z),0,1(z)1,0(z,10上x43)0,21(z1)0,0(z3)1,0(z1)0,1(z1yxDxyO为最小值;为最大值.29三、多元函数的条件极值实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．xyyxyxUlnln),(问题的实质：求在条件下的极大值点．yxyxUlnln),(200108yx30对自变量有约束条件的极值.条件极值求条件极值的方法①代入法.②拉格朗日(Lagrange)乘数法.31解yxz18xyzV)18(yxxy2218xyyxxy例已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为,zyx、、由题意长方体的体积为)18,0,0(yxyx18zyxxyzV(1)代入(1)式(目标函数)(约束条件)32yxz18xyzV02182yxyyVx02182xyxxVy2218xyyxxy已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？)6,6(驻点且长方体体积一定有最大值,长方体体积最大.故当的长、宽、高都为6时,由于V在D内只有一个驻点,)18,0,0(yxyx33上例的条件极值问题,但并不是所有情况下都能这样做，更多时候拉格朗日乘数法.说明是通过将约束条件代入目标函数中求解;一般方法——用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的34目标函数),(yxfz0),(yx约束条件设函数(1)在),(00yx0),(00yx由条件0),(yx(1)(2)取得极值,则首先有(3)确定y是x的隐函数).(xyy则一元函数0xx也取得极值.))(,(xyxfz四、Lagrange(拉格朗日)乘数法在0ddxxxz),(00yxfx(4)0ddxxxy0),(00yxfy350ddxxxy代入(4)得:)5(0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx0),(yx),(),(0000yxyxyx0ddxxxz),(00yxfx0ddxxxy0),(00yxfy(4)记),(),(0000yxyxfyy上述必要条件变为:0),(),(0000yxyxfxx0),(00yx0),(),(0000yxyxfyy(6)(6)便是),(00yx为极值点的必要条件.36(6)中的三个式子的左边恰是0),(),(0000yxyxfxx0),(00yx0),(),(0000yxyxfyy(6)),(),(),,(yxyxfyxL令三个一阶偏导数在),(00yx的值.称为),,(yxL拉格朗日函数),(00yxLx),(00yxLy),(00yxL拉格朗日乘数37),(yxfz0),(yx在条件求函数下的可能极值点,先构造拉格朗日函数),(),(),,(yxyxfyxL令解出,,,yx其中就是可能的极值点的坐标.yx,,0),(),(yxyxfLxxx,0),(),(yxyxfLyyy.0),(yxL拉格朗日乘数法求条件极值实际问题中,可根据问题本身来判定所求点是否为极值点.38推广约束条件多于一个的情况.自变量多于两个，目标函数),,,(tzyxfu0),,,(tzyx约束条件例0),,,(tzyx拉格朗日函数),,,(),,,(21tzyxtzyx),,,(),,,,,(21tzyxftzyxL39),,,(),,,(21tzyxtzyx令满足方程的是可能的极值点的坐标.tzyx,,,),,,(),,,,,(21tzyxftzyxL0),,,(0),,,(00002121212121tzyxLtzyxLfLfLfLfLttttzzzzyyyyxxxx40.)21,1,1(22的最短距离到曲面求点yxz解1d为简化计算,令2222)21()1()1(zyxd22yxz),,(zyx设是曲面上的点,它与已知点的距离为222)21()1()1(zyx目标函数约束条件),,,(zyxL)(22yxz设222)21()1()1(zyx新的目标函数例41)(22yxz02)1(2xxLx得由)2(),1(22xz得由)1(xx1得代入)3(xxxz212121222)21()1()1(zyx02)1(2yyLy0212zLz022yxzL(1)(2)(3)(4