59离散型随机变量的分布列(答案)

第1页共4页数学导学案敦品励行勤学致知离散型随机变量的分布列【2014年高考会这样考】1．考查离散型随机变量及其分布列的概念理解；2．两点分布和超几何分布的简单应用．【复习指导】复习时，要会求与现实生活有密切联系的离散型随机变量的分布列，掌握两点分布与超几何分布列，并会应用．考点梳理1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量在某些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量，随机变量常用大写字母X，Y，…表示．(2)离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．(4)分布列的两个性质①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝_1_.2．两点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X01…mPC0M·Cn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列．考点自测1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为()．A．出现正面的次数B．出现正面或反面的次数C．掷硬币的次数D．出现正、反面次数之和解析抛掷均匀硬币一次出现正面的次数为0或1.答案A班级：姓名：装订线装订线课题：离散型随机变量的分布列编号：58时间：第2周命制人：高婷婷第2页共4页数学导学案敦品励行勤学致知2．如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是()．A．X取每个可能值的概率是非负实数B．X取所有可能值的概率之和为1C．X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和解析由离散型随机变量的性质得pi≥0，i＝1,2，…，n，且i＝1npi＝1.答案D3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2X≤4)等于()．A.316B.14C.116D.516解析P(2X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.答案A4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()．A．25B．10C．7D．6解析X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.答案C5．设某运动员投篮投中的概率为P＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________．解析此分布列为两点分布列．答案X01P0.70.3考向一由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】►(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数甲组乙组991||980分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．[审题视点]本题解题的关键是求出Y的取值及取每一个值的概率，注意用分布列的性质进行检验．解(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21，P(Y＝17)＝216＝18P(Y＝18)＝416＝14P(Y＝19)＝416＝14P(Y＝20)＝416＝14P(Y＝21)＝216＝18则随机变量Y的分布列是：第3页共4页数学导学案敦品励行勤学致知Y1718192021P1814141418(2)由(1)知E(Y)＝178＋184＋194＋204＋218＝19，设这名同学获得钱数为X元，则X＝10Y，则E(X)＝10E(Y)＝190.(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．【训练1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是________．解析设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，则随机变量X的取值分别为50000×12%＝6000(元)，－50000×50%＝－25000(元)．由已知条件随机变量X的概率分布列是X6000－25000P2425125因此E(X)＝6000×2425＋(－25000)×125＝4760答案4760考向二由古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】►袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．[审题视点]对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确．解(1)设袋中白球共有x个，根据已知条件C2xC27＝17，即x2－x－6＝0，解得x＝3，或x＝－2(舍去)．(2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2，3,4,5.因此，P(X＝1)＝A13A17＝37，P(X＝2)＝A14A13A27＝27，P(X＝3)＝A24A13A37＝635，P(X＝4)＝A34A13A47＝335，P(X＝5)＝A44A13A57＝135.则随机变量X的分布列为：X12345P3727635335135(3)甲取到白球的概率为P＝A13A17＋A24A13A37＋A44A13A57＝37＋635＋135＝2235.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与第4页共4页数学导学案敦品励行勤学致知概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．【训练2】(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．解(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(X＝i)＝Ci4C4－i4C48(i＝0,1,2,3,4)，则X01234P1708351835835170(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800,3500，则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝170，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝835，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝5370，E(Y)＝3500×170＋2800×1670＋2100×5370＝2280，所以此员工月工资的期望为2280元．考向三由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列【例3】►(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.[审题视点]分别求出随机变量X取每一个值的概率，然后求其期望．解析由已知条件P(X＝0)＝112即(1－P)2×13＝112，解得P＝12，随机变量X的取值分别为0,1,2,3.P(X＝0)＝112，P(X＝1)＝23×1－122＋2×13×122＝13，P(X＝2)＝2×23×12×1－12＋1－23×122＝512，P(X＝3)＝23×122＝16.因此随机变量X的分布列为X0123第5页共4页数学导学案敦品励行勤学致知P1121351216E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案53本题考查了相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应用，计算准确是解题的关键．【训练3】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．解随机变量X的分布列是X123P131216X的均值E(X)＝1×13＋2×12＋3×16＝116.附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是16：在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人．课堂练习一、选择题1．若随机变量X的概率分布列为Xx2Pp1p2且p1＝12p2，则p1等于()．第6页共4页数学导学案敦品励行勤学致知A.12B.13C.14D.16解析由p1＋p2＝1且p2＝2p1可解得p1＝13.答案B2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是()．A．2颗都是4点B．1颗是1点，另1颗是3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解析“X＝4”表示抛掷2颗骰子其点数之和为4，即两颗骰子中“1颗1点，另1颗3点，或两颗都是2点．”答案D3．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于()．A.19B.16C.13D.14解析∵12a＋22a＋32a＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝22×3＝13.答案C4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为()．A．1B.12C.13D.15解析设X的分布列为：X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝13，因此选C.答案C第7页共4页数学导学案敦品励行勤学致知5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于()．A．C10123810582B．C91238958238C．C911589382D．C9113810582解析“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝38C911389582＝C9113810582.答案D6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于()．A.15B.25C.35D.45解析P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－C14C22C36＝45.答案D7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒