6-5走向高考数学章节

第6章第5节一、选择题1．如果数列{an}的前n项和Sn＝14n(9n－4n)(n∈N*)，那么这个数列()A．是等差数列而不是等比数列B．是等比数列而不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列[答案]B[解析]Sn＝94n－1符合Sn＝Aqn－A的特征，故该数列为等比数列．2．数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n－1，则a3＋a17等于()A．15B．17C．34D．398[答案]C[解析]a3＝S3－S2＝(32－2×3－1)－(22－2×2－1)＝3.a17＝S17－S16＝(172－2×17－1)－(162－2×16－1)＝31，∴a3＋a17＝34.3．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后细胞存活数是()A．33B．64C．65D．127[答案]B[解析]每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．4．(2011·黄冈模拟)小正方形按照如图的规律排列：每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{an}，有以下结论：①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列的递推公式为：an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)．其中正确的命题序号为()A．①②B．①③C．①④D．①[答案]C[解析]当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝3；当n＝3时，a3＝6；当n＝4时，a4＝10，…，观察图中规律，有an＋1＝an＋n＋1，a5＝15.故①④正确．5．△ABC中，tanA是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上均错[答案]B[解析]由题意知：tanA＝－1－－47－3＝340.tan3B＝412＝8，∴tanB＝20，∴A、B均为锐角．又∵tan(A＋B)＝34＋21－34×2＝－1120，∴A＋B为钝角，即C为锐角，∴△ABC为锐角三角形．6．在正项数列{an}中，a1＝2，点(an，an－1)(n≥2)在直线x－2y＝0上，则数列{an}的通项公式an为()A．2n－1B．2n－1＋1C．2nD．2n＋1[答案]C[解析]据题意得an－2an－1＝0，即an＝2an－1，所以an＝2×2n－1＝2n.7．编辑一个运算程序：1&1＝2，m&n＝k，m&(n＋1)＝k＋3(m、n、k∈N*)，1&2004的输出结果为()A．2004B．2006C．4008D．6011[答案]D[解析]由已知m&(n＋1)－m&n＝3可得，数列{1&n}是首项为1&1＝2，公差为3的等差数列，∴1&2004＝2＋(2004－1)×3＝6011.应选D.8．下表给出一个“直角三角形数阵”1412，1434，38，316……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且诸行的公比都相等，记第i行，第j列的数列为aij(i≥j，i，j∈N)，则a83等于()A.18B.14C.12D．1[答案]C[解析]由已知在第一列构成的等差数列中，首项为14，公差为14，∴a81＝14＋(8－1)·14＝2在每行构成的等比数列中公比q＝12，∴a83＝2·(12)2＝12.二、填空题9．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆x2m＋y2n＝1的离心率为________．[答案]22[解析]由2n＝2m＋n和n2＝m2n可得m＝2，n＝4，∴e＝n－mn＝22.10．已知α∈(0，π2)∪(π2，π)，且sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________．[答案]2π3[解析]由题意，sin22α＝sinα·sin4α，∴sin22α＝2sinα·sin2α·cos2α，即sin2α＝2sinα·cos2α，∴2sinαcosα＝2sinα·cos2α，即cosα＝cos2α，∴2cos2α－1＝cosα，∴(2cosα＋1)(cosα－1)＝0.解得cosα＝1(舍去)或cosα＝－12，∴α＝2π3.11．(文)(2010·江苏卷)函数y＝x2(x0)的图像在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．[答案]21[解析]本题主要考查了导数的几何意义及等比数列的知识，要求数列的和，关键在于确定ak与ak＋1之间的关系，再利用数列的相关知识求解．∵y′＝2x，∴过点(ak，ak2)的切线方程为y－ak2＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝12ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝12，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.(理)如图，“杨辉三角”中从上往下数共有n(n7，n∈N)行，设其第k(k≤n，k∈N*)行中不是1的数字之和为ak，由a1，a2，a3，…组成的数列{an}的前n项和是Sn.现在下面四个结论：①a8＝254；②an＝an－1＋2n；③S3＝22；④Sn＝2n＋1－2－2n.11121133114641…………其中正确结论的序号为________．(写出所有你认为正确的结论的序号)[答案]①④[解析]由已知得an＝Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn－2＝(1＋1)n－2＝2n－2，∴a8＝28－2＝256－2＝254，①正确；an－an－1＝2n－2－2n－1＋2＝2n－1≠2n，②不正确；∵Sn＝2－2＋22－2＋…＋2n－2＝21－2n1－2－2n＝2n＋1－2n－2，∴S3＝24－6－2＝8≠22，③不正确，④正确．∴①④正确．三、解答题12．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，记Sn为其前n项和．(1)若a2、a3、a6依次成等比数列，求其公比q.(2)若a1＝1，证明点P11，S11，P22，S22，…，Pnn，Snn(n∈N*)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析](1)∵a2、a3、a6依次成等比数列，∴q＝a3a2＝a6a3＝a6－a3a3－a2＝3dd＝3，即公比q＝3.(2)证明：∵Sn＝na1＋nn－12d，∴Snn＝a1＋n－12d＝1＋n－12d.∴点Pnn，Snn在直线y＝1＋x－12d上．∴点P1，P2，…，Pn(n∈N*)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y－1＝d2(x－1)．13．(2010·福建文)数列{an}中，a1＝13.前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝(13)n＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．[解析]本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．(1)由Sn＋1－Sn＝(13)n＋1得an＋1＝(13)n＋1(n∈N*)又a1＝13，故an＝(13)n(n∈N*)从而Sn＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n](n∈N*)(2)由(1)可得S1＝13，S2＝49，S3＝1327从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列可得13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t，解得t＝2.14．(2010·湖北文)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)[解析]本小题主要考查阅读资料，提取信息，建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力．(1)第1年末的住房面积a·1110－b＝(1.1a－b)(m2)第2年末的住房面积(a·1110－b)1110－b＝a(1110)2－b(1＋1110)＝(1.21a－2.1b)(m2)(2)第3年末的住房面积a11102－b1＋1110·1110－b＝a·11103－b1＋1110＋11102第4年末住房面积为：a(1110)4－b1＋1110＋11102＋11103.第5年末住房面积为：a·(1110)5－b1＋1110＋11102＋11103＋11104＝1.6a－6b依题意可得，1.6a－6b＝1.3a，解得b＝a20，所以每年拆除的旧房面积为a20(m2)．15．某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)[解析]设该企业逐年的项目资金依次为a1，a2，a3，…，an，则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N*)，即an＋1＝54an－200，令an＋1－x＝54(an－x)，即an＋1＝54an－14x，由x4＝200，得x＝800，∴an＋1－800＝54(an－800)(n∈N*)，故{an－800}是以a1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050，∴a1－800＝250∴an－800＝25054n－1，∴an＝800＋25054n－1(n∈N*)．由题意an≥4000，∴800＋25054n－1≥4000，即54n≥16，∴nln54≥lg16，即n(1－3lg2)≥4lg2，∵lg2＝0.3，∴0.1n≥1.2，故n≥12.答：经过12年后，该项目资金可以翻两番．教师备课平台一、函数与方程的思想在数列中的应用在数列中，数列本身就是一种函数．这种函数的定义域是N＋(或其子集)，从而表现在图像上就是孤立的点．数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a10，q1)．因此研究数列问题，可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式．在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题．但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别．[例1]已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图像上，数列{bn}满足bn＝log2an－12(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)当数列{bn}的前n项和最小时，求n的值；(3)设数列{bn}的前n项和为Tn，求不等式Tnbn的解集．[分析]先利用函数关系求出Sn的表达式，再依an与Sn关系求出an.进而求出bn、Tn，使问题解决．[解析]由题意得Sn＝2n－1.(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.又∵a1＝1＝21－1，∴an＝2n－1.(2)bn＝log2an－12＝log22n－1－12＝(n－1)－12＝n－13，∴bn＝n－13，令bn≥0得n≥13，∴数列{bn}的前12项均为负数，第13项为0，从第14项起均为正数，∴当n＝12或13时，数列{bn}的前n项和最小．(3)∵bn＋1－bn＝1，∴数列{bn}为等差数列．∴Tn＝nn－252n－13，整理得n2－27n＋260，解得1n26.∴Tnbn的解集为{n|1