6.4定积分的应用

授课课题定积分的应用教学目标和要求掌握利用定积分来求解平面图形的面积和旋转体的体积教学重点和难点平面图形的面积旋转体的体积教学方法情景教学法教学手段板书PPT授课时间第10周课时累计38教学过程教学步骤及教学内容时间分配一，复习引入（1）前面学习了定积分的求解方法也与原函数有关（2）并且掌握了定积分的直接积分法（3）学会了定积分的换元积分法与分布积分法（4）那么我们定积分在实际应用中主要起到什么样的作用呢？新课：二、定积分的微元法微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法,我们回顾一下解决曲边梯形面积的四个步骤,其中关键是第二步,即确定))()(()(iiiiiiixoxfAxfA.其形式与积分式中的被积表达形式具有相同的形式.如果把i用x替代,ix用dx替代,这样我们把求曲边梯形面积的四个步骤化为两步:第一步选取积分变量,例如选取x,并确定其范围,例如,xab,在其上任取一个子区间xxxd,;第二步以点x处的函数值()fx为高,dx为底的矩形面积为A近似值,即()Afxdx.上式右端()fxdx叫做面积微元,记为xxfAd)(d,于是面积A就是将这些微元在区间ba,上的无限累加,即从a到b的定积分,baxxfAd)(.概括上述过程,对一般的定积分问题,所求A的积分表达式,可按以下几个步骤确定:(1)在区间ba,上任取一个微小区间xxxd,,然后写出在这个小教学步骤及教学内容时间分配区间上的部分量A的近似值,记为xxfAd)(d(称为A的微元)；（2）将微元baA,d在　上无限“累加”，即在ba,上积分，得baxxfAd)(上述两步解决问题的方法称为微元法.微元法在自然科学研究和生产实践中有着广泛的应用------凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题,一般可通过微元法得到解决.三、平面图形的面积由曲线)0)(()(xfxfy及直线xa与xb(ab)与x轴所围成的曲边梯形面积A.badxxfA)(其中：fxdx()为面积元素.由曲线yfx()与ygx()及直线xa，xb(ab)且fxgx()()所围成的图形面积A.bababadxxgxfdxxgdxxfA])()([)()(其中：dxxgxf])()([为面积元素.相应地,曲线x=φ(y),直线y=c,y=d(cd)及x=0所围图形的面积15教学步骤及教学内容时间分配()dcSydy曲线x=φ(y),x=ψ(y)直线y=c,y=d(cd)所围图形的面积()()dcSyydy例:计算抛物线xy22与直线4xy所围成的图形面积.解：1、先画所围的图形简图解方程422xyxy,得交点：)2,2(和)4,8(.2.选择积分变量并定区间选取x为积分变量，则08x3.给出面积元素在20x上，dxxdxxxdA22])2(2[在82x上，dxxxdxxxdA)24(])4(2[4.列定积分表达式280228332220222(42)42221433218Axdxxxdxxxxx另解：若选取y为积分变量，则42y2010dyyydA]21)4([218642)214(4232242yyydyyyA显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题四体积1、旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴.计算由曲线yfx()直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的立体的体积.取x为积分变量，则],[bax，对于区间],[ba上的任一区间],[dxxx15教学步骤及教学内容时间分配它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(xf为底半径，dx为高的圆柱体体积.即：体积元素为dxxfdV2)(所求的旋转体的体积为dxxfVba2)(例1求由曲线xhry及直线0x，)0(hhx和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而生成的立体的体积.解：取x为积分变量，则],0[hxhrdxxhrdxxhrVhh202220232、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算.20取定轴为x轴，且设该立体在过点ax，bx且垂直于x轴的两个平面之内，以)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积.取x为积分变量，它的变化区间为],[ba.立体中相应于],[ba上任一小区间],[dxxx的一薄片的体积近似于底面积为)(xA，高为dx的扁圆柱体的体积.即：体积微元为dxxAdV)(于是，该立体的体积为dxxAVba)(例2计算椭圆12222byax所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积.解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆22xaaby及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的立体.在x处)(axa，用垂直于x轴的平面去截立体所得截面积为222)()(xaabxA2222234)()(abdxxaabdxxAVaaaa五、定积分在经济学中的应用定积分在经济学中的应用主要是已知边际函数,要求总函数的问题.已知边际成本函数MC,边际收入函数MR,则总成本函数C(q),总收入函数R(q)可以表示为000()()()()qqCqMCdqCRqMRdq其中0c为固定成本，一般有0(0),(0)0.CCR由总利润函数()()()LqRqCq得()()()LqRqCq=00()qMRMCdqC例3.某产品边际成本为MC=3+q（万元/百台），边际收入MR=12-q（万元/百台），固定成本为5万元，试求利润函数L（q）.解：由利润函数()()()LqRqCq=00()qMRMCdqC得()()()LqRqCq=0[(12)(3)]5qqqdq=295qq20作业布置P100T四2、3、5、6P105T4、6、9课后反思定积分的应用主要体现在平面图形的面积和旋转体的体积，这次课主要学习-平面图形的面积和旋转体积的运算，由于学生开始接触，所以在面积和定积分之间的转换不明确，所以学起来理解有点困难，所以在课堂中多加入例题加以理解。