6.第六讲三角函数的图象和性质

1第六讲三角函数的图象和性质一、引言（一）本节的地位：三角函数知识是高中教学的重要知识之一，三角函数的图象和性质是三角函数部分的重要内容，也是历年高考必考查的内容，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求．（二）考纲要求：通过本节的学习能画出sinyx，cosyx，tanyx的图象，了解三角函数的周期性；借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在(,)2上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）．本节重点：能够正确作出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，理解正弦函数、余弦函数，正切函数的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点、周期等）．（三）考情分析：主要考查作图能力、图象变换、三角函数的性质，如周期、单调区间、最大值最小值等知识．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查．二、考点梳理1．“五点法”作正、余弦函数图象在确定正弦函数xysin在[0,2π]上的图象时，起关键作用的五个点是(0,0)、(,1)2、(,0)、(,1)2、(2,0)．在确定余弦函数cosyx在[0,2π]上的图象时，起关键作用的五个点是(0,1)、(,0)2、(,1)、(,0)2、(2,1)．2．周期函数：一般地，对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf，那么函数)(xf就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有的周期中存在的最小正数，叫做最小正周期．3．五点法作sin()yAx的简图：五点取法是设xx，由x取0、2π、、2π3、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图．4．图象变换：(1)平移变换：左右平移：将函数)(xfy的图象沿x轴方向平移a个单位后得到函数)(axfy的图象．当0a时向左，当0a时向右．上下平移：将函数)(xfy的图象沿y轴方向平移b个单位后得到函数bxfy)(2的图象．当0b时向上，当0b时向下．（2）伸缩变换：横向伸缩（周期变换）：函数)(xfy的图象，可以看作是把函数)(xfy的图象上的点的横坐标缩短（当1时）或伸长（当10时）到原来的/1倍（纵坐标不变）而得到．纵向伸缩（振幅变换）：函数)(xAfy的图象，可以看作是把函数)(xfy的图象上的点的纵坐标伸长（当1A时）或缩短（当10A时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．5．研究)sin(wxAy的方法：换元法．三、典型问题选讲（一）与函数图象有关的问题例1已知函数()fx=Acos(x)的图象如图所示，2()23f，则(0)f=（）A．23B．23C．－12D．12解析：由图象可得最小正周期为23．于是f(0)＝2()3f，注意到23与2关于712对称．所以2()3f＝－()2f＝23．归纳小结：认真分析图形，抓住图形中的已知条件，利用图形的对称性、周期性求解．例2（2009，浙江）已知a是实数，则函数()1sinfxaax的图象不可能．．．是（）21世纪教育网3分析：可用排除法，对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2TaTa，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于2．归纳小结：此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度．（二）图象变换例3若将函数tan04yx的图象向右平移6个单位长度后，与函数tan6yx的图象重合，则的最小值为（）A．16B．14C．13D．12解析：6tantan[(]ta)6446nyxyxx向右平移个单位164()662kkkZ，又min102．故选D．归纳小结：图象的左右平移要在x上作变换，两个角的函数值相等，那么这两个角不一定相等，注意它们的关系．例4已知函数()3sin()cos()fxxx（0π，0）为偶函数，且函数()yfx图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（1）求π8f的值；（2）将函数()yfx的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()ygx的图象，求()gx的单调递减区间．分析：先将()fx化简，利用函数的性质求得()fx的表达式达到化简求值的目的．解：（1）()3sin()cos()fxxx312sin()cos()22xxπ2sin6x．因为()fx为偶函数，所以对xR，()()fxfx恒成立，4因此ππsin()sin66xx．即ππππsincoscossinsincoscossin6666xxxxππππsincoscossinsincoscossin6666xxxx，整理得πsincos06x．因为0，且xR，所以πcos06．又因为0π，故ππ62．所以π()2sin2cos2fxxx．由题意得222，所以2．故()2cos2fxx．因此ππ2cos284f．（2）将()fx的图象向右平移π6个单位后，得到π6fx的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到π46xf的图象．所以πππ()2cos22cos464623xxxgxf．当π2π2ππ23xkk（kZ），即2π8π4π4π33kxk（kZ）时，()gx单调递减，因此()gx的单调递减区间为2π8π4π4π33kk，（kZ）．归纳小结：由()fx为偶函数，所以对xR，()()fxfx恒成立，建立三角函数关系求得的值，（2）也可化图象求单调区间．（三）与图象性质有关的问题5例5已知函数()sin()()2fxxxR，下面结论错误．．的是（）A．函数)(xf的最小正周期为2B．函数)(xf在区间［0，2］上是增函数C．函数)(xf的图象关于直线x＝0对称D．函数)(xf是奇函数解析：∵()sin()cos2fxxx，∴A、B、C均正确，故错误的是D．归纳小结：本题要认真审题，本题问的是结论错误．．的是哪个选项，能够用诱导公式将问题化简．例6如果函数3cos(2)yx的图象关于点4(,0)3中心对称，那么的最小值为（）A．6B．4C．3D．2分析：本小题考查三角函数的图象性质，熟悉三角函数图象的对称中心．解：函数cos2yx＝3＋的图象关于点43，0中心对称，4232k13()6kkZ．由此易得min||6．故选A．归纳小结：熟练掌握三角函数的性质如：对称轴方程、对称中心等．例7已知函数()sin(),fxAxxR（其中0,0,02A）的图象x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为2(,2)3M．（1）求()fx的解析式；（2）当[,]122x，求()fx的值域．分析：由图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离可知函数的最小正周期，由图象上一个最低点，可求得函数中的参数，使问题得以解决．解：（1）由最低点为2(,2)3M得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为2得2T=2，即T，222T．由点2(,2)3M在图象上得242sin(2)2,)133即sin(．故42,32kkZ．1126k．6又(0,),,()2sin(2)266fxx故．（2）7[,],2[,]122636xx　　　　．当26x=2，即6x时，()fx取得最大值2；当7266x．即2x时，()fx取得最小值－1，故()fx的值域为[－1，2]．归纳小结：熟练掌握三角函数图象的性质是解决此类问题的关键．例8已知函数()2cos(sincos)1fxxxxxR，．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）求函数()fx在区间π3π84，上的最小值和最大值．分析：本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()yAx的性质等基础知识，考查基本运算能力．（1）解：π()2cos(sincos)1sin2cos22sin24fxxxxxxx．因此，函数()fx的最小正周期为π．（2）解法一：因为π()2sin24fxx在区间π3π88，上为增函数，在区间3π3π84，上为减函数，又π08f，3π28f，3π3πππ2sin2cos14244f，故函数()fx在区间π3π84，上的最大值为2，最小值为1．解法二：作函数π()2sin24fxx在长度为一个周期的区间π9π88，上的图象如右图：由图象得函数()fx在区间π3π84，上的最大值为2，最小值为3π14f．7归纳小结：（2）一种方法是运用函数单调性的性质，另一种解法则是作出函数图象求出最值．四、本专题总结本节课包含三角函数图象、图象变换、三角函数图象的性质，如周期、单调区间、最大值最小值等知识．主要研究由图象解决问题、利用图象求周期、单调区间、最大值最小值等问题．主要方法有：代点法，整体代入等方法，体现化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，应注意熟练掌握概念、公式，图象及性质，提高综合应用知识的能力．应注意图象的左右平移要在x上作变换，两个角的函数值相等，那么这两个角不一定相等，注意它们的关系．