6第6章离散时间模型

第六章离散时间和连续时间模型的仿真§1状态变量6.1.1状态变量的基本概念1)状态变量集计算机仿真中必须搞清楚实体相互关系的规则。计算机记录描述变量的过去值，根据相互关系规则，可计算描述变量的未来值。状态变量集是所有描述变量的一个子集，只要知道这些变量的现在值和输入变量值，就可计算模型的所有描述变量未来值。2）模型完全描述完全描述模型：假设模型具有描述变量n,,,21，如果在任一时间t，变量1的值为1y，变量2的值为2y，…，若实体的相互关系规则对任一未来时间t′（大于t）确定了值''2'1,,,nyyy的唯一集，那么该模型是完全描述的。模型完全描述的充要条件：如果各描述变量的各个值只在任一时间t唯一确定所有这些变量在任一未来时间t′的值，就说描述变量集的某个子集是状态变量集。如果模型是完全描述的，n,,,21或它的真子集便是状态变量集。模型是完全描述的充要条件是该模型的描述变量中存在状态变量集例：二辆汽车面对而驶，V1、V26.1.2状态变量的仿真性质1）程序预置假设程序给出计算t′时的''2'1,,,nyyy的任务。则仅需预置（也即是初始化）那些与状态变量有关的存储单元。2）重复操作假设给定t时的nyyy,,,21值之后，因为丢失了第一次仿真操作的记录，要重复计算t′时的''2'1,,,nyyy值，只要与状态变量有关的单元，预置nyyy,,,21的相同值，则在不同计算机和不同时间作两次操作，结果仍然相同。3）程序中断和重新起动设计算t′时的''2'1,,,nyyy值之后，安排中断程序。在某时间之后可以重新起动。4）程序恢复假设计算机在执行程序时发生事故，修复正常时，重新预置肯定将最终产生相同结果，但比从中断点重新起动要花费更多的时间。4）离散时间仿真的定义对于时间t1，…ti…，给出ti的状态值iy1imy，由程序根据分量相互关系能计算ti+1的唯一描述值11iy1imy，也就是对于任何时间对偶（t1，ti+1）均成立，称集{t1，t2…}为计算时刻，若时间是步长h的逐次倍数ti+1-ti=h，整个仿真称离散时间仿真。又假设分量相互关系规则不依赖于时间，仅仅与状态值y1…ym有关，模型就称时不变模型。§6.2离散时间模型仿真6.2.1时不变离散时间模型的仿真过程1）仿真过程给定t时的状态值y1…ym，求t1的描述变量值的问题。设t=tM和t1=tM+N，计算时刻集tM，tM+1，…tN在t和t1之间，仿真过程：步1预置状态变量m1的值分别为y1，y2，…ym步2预置时标为tM步3根据相互关系规则和状态变量现值，产生状态变量的新内容，并使其它剩余描述变量产生新的内容步4t=t+h，推进时标步5Nhttm，停止计算；否则，返回步32）仿真基本特性（1）计算模型描述值的采样时刻，由t，t+h，……序列组成（2）迭代次数htt/)(1，h越小，迭代次数越少（3）步3体现模型的相互关系规则，是关键6.2.2离散时间模型的形式规范1．范式下面讨论离散时间仿真步3假设共n个变量，其中m个为状态变量，并假设无输入变量。f可假设有一映射描述值输出状态值它的输入::,),,,,(),,,(11111121nmmmyyyyyyyf把f分成二个部分),,,,(),,(),,(),,(),(111111111111nmmmmmyyyyyyyyyyy即y1,…,ymy11,…,ym1y11,…,yn1若不依赖y1…,ym，则),(),(1111mmyyyu),(),,(111111nmyyyy),,(),,(11mmyyyyf映射称为状态转移函数—它取一列时间ti的模型状态变量值，并产生一列时间ti+1的模型状态变量值。上面的简式称范式。2．离散时间系统的组成和形式化描述状态、输出、转移函数假设DES.var是描述变量集，state.var和output.var分别为状态变量和输出变量集，state.var的范围集.用RANGRE.βi表示，这样状态集可用下式笛卡尔积表示}var.,.),,,{(1stateRANGEyyySTATESiiii21RANGERANGERANGEstatevar.同样，可用集合论来描述输出集OUTPUTS对于时不变和离散时间步长为h的离散时间仿真模型，就可给出它的形式描述：OUTPUTSSTATESTATESSTATESOUTPUTSSTATESSTATESSTATEShh)()(::和若STATE是ti时刻的模型状态变量，h(STATE)则ti+h时刻状态，(STATE)则是ti的输出。上述四元组STATES，OUTPUTS，h，是离散时间系统规范例：线性同余发生器的离散时间系统规范M=Q,Y,,,Q为状态集[0，m]，Y是输出集[0，1]是转移函数，：QQ，qQ,(q)等于aq+c关于m的模，是输出函数，：QY,(q)=q/m6.2.3离散时间模型的结构与行为假设仿真时间区间为[t,t],把它称为观察区间，计算时刻序列为tM,…,tM+Nh,设序列qM,…,qM+N,分别为计算时刻tM,…,tM+Nh的状态，同样输出变量序列(qM),…,(qM+N)把这二个序列分别称为状态轨迹和输出轨迹。1）行为系统的行为包括模型的状态行为和模型的轨迹行为状态行为是所有状态轨迹的集输出行为是所有输出轨迹的集tMqM(qM)tM+hqM+1(qM+!)tM+NhqM+N(qM+N)2)结构状态转移函数：NiqqiMhiM,,1)(16.2.4非自治离散时间模型varvarvarvarvarvarvarnon.INPUT.OUTPVT.non.INPUT.STATE.non.INPUT.INPUTDES非自治时不变离散时间系统规范可用如下五元组形式表示，INPUTS，STATES，OUTPUTS，δh,λ其中INPUTS，STATES，OUTPUTS分别是INPUT.VARIABLES，STATE.VARIABLES和OUTPUT.VARIABLES的范围集叉积的子集；δh为状态转移函数δh：STATESINPUTS→STATES而λ是输出函数λ：STATESINPUTS→OUTPUTS具有输入变量系统的行为输出轨迹它是输入输入输出行为状态轨迹它是输入状态行为模型的行为::§6.3连续时间模型仿真6.3.1微分方程系统规范特点：微分方程系统不能直接规定下次状态，而是根据所提供的状态变化信息来计算下次状态值。微分方程系统的规范的五元组形式表示：INPUTS，STATES，OUTPUTS，f，λ，其中INPUTS，STATES，OUTPUTS分别是INPUT·VARIABLES，STATE·VARIABLES和OUTPUT·VARIABLES的范围集叉积的子集；f为导数函数f：STATESINPUTS→STATES而λ是输出函数λ：STATESINPUTS→OUTPUTS导数函数f是状态变量和输入变量的函数，可用下式表示q)q(txtqfdttdq0)),(),(()(上式说明它们的解依赖于给定的初始值（q)q(0），并在每个时刻必须满足微分方程。微分方程系统的关键是导数函数。设模型有输入变量序列mXXX...,,21和输出变量序列nYYY...,,21，导数函数可用以下一阶微分方程组表示)...,,,...,,()...,,,...,,(2121212111mnnnmnXXXYYYfdtdYXXXYYYfdtdY可以把每个微分函数分解为积分器和用来计算积分器输入的函数，把积分器的输出变量来构成模型的状态变量（详见下一节）。积分器是构成微分方程说明系统的基本环节，它可表示为Y=INTGRL（IY，YRT），它建立起它的输入YRT和输出Y（用简化符号）所假定的值之间的关系)(tYRTdtdY6.3.2积分法欧拉法的基本概念是)()()()(lim0tXhtYhtYdttdYh对于足够小的h，有)()()(tXhtYhtY设定较小的步长h，对于给定运行长度，则会要求有较长的计算时间。但是，从计算精度的角度来说，h越小计算精度越高。积分法思想：积分法利用输出和导数的估计过去值和（或）未来值来致力于更好地估计现在值。对于积分器Y=INTGRL（IY；X），计算时间ti的Y值的依据可能包括计算Y和X在先前计算时刻,,21iitt和（或）后来时刻,,21iitt的各个值。输出Y和导数X的各个值是相互依存的，即积分器本身只产生Y对X的依赖关系，而通过其它函数，可形成积分器输出反馈，这使X对Y产生依赖关系。误差传播（1）每步计算近似值,因为即使X和Y在是正确的，由于在连续区间（t，t+h）X和Y的值是变化，程序不能在这区间使用这些在时间t的值，来正确地计算Y在时间(t＋h）的值。（2）系统传播前误差的影响而积累起来，Y有误差，Y与X是依存关系，导致X误差，再导致Y误差。因果法:仅使用Y和X在前计算时刻ti-1,ti-2,,的值和时间ti的X值，去计算ti的Y值，叫做因果法。因果法的阶数：若Yi的f(Xi-d,,Xi;Yi-d,,Yi-1)表明f是自变量的线性组合，它的阶数为d。例:亚当斯法Yt+h=Yt+h(3Xt-Xt-h)为二阶因果法对于d阶因果法，仿真时应保存d个模型导数和状态（积分器的输入及输出）变量的过去值。因果积分法对应的状态转移函数可用以下语句表示Y=INT•METHOD（P1Y，P2Y，…，PdY，P1X,…，PdX，X）其相关的状态变量、状态转移过程和输出序列可见表6.1。表6.1因果积分法状态变量时间ti-1的值若X的值（时间ti的导数）是x，各状态变量在时间ti的值Y（输出）在时间ti-1的值P1Y1iy),...,,,,...,(11-idiidiyyxxxf1iyP2Y2iy1iy.........PdYdiy)1(diyP1X1ixxP2X2ix1ix.........PdXdix)1(dix非因果法:非因果法是不但考虑导数和输出的过去值，而且使用Y和X在时间ti+1,ti+2,,的估计值。两次试探性估计现在值：（1）计算未来值的初始“预算”阶级（2）计算最终值时的“校正”阶级),,,,,,,,,,,,,(1111eiiiidieiiidiiYYYYYxxxxxgY),(,),,(11iididiyxyx是已计算过的过去值对偶),(,),,(eieiiiYXYX是预算现在和未来值，Yi是Y在ti的最终估计值。简单的预算一校正法如下：)(2htthtththttXXhYYhXYY非因果积分法的实现可描述如下：利用因果法f函数，计算e+1个时刻eiittt,...,,1i积分器的导数和输出对偶，并把获得的对偶eieiiiiiYXYXYX,,,,,11存储起来；然后，把函数g应用于这些值和d个过去值),(,),,(),,(1111iididididiYXYXYX，求得输出变量Y在时间ti的最终估计值Yi。§6.4离散时间和连续时间仿真模型的描述6.4.1污染模型POL(t+h)=POL(t)+[POLG(t)-POLA(t)]hPOLG(t)=P(t)*POLCM(t)POLCM(t)=POLCMT(CIR(t))CIR(t)=)()(tPtCIPOLA(t)=POL(t)POLR(t)POLA(t)=POLRT(POL(t))htPOLPOLRTtPOLtPtCIPOLCMTtPtPolhtPol))(()()()()()()(对于状态变量POLhpolPOLRTpolpciPOLCMTppol