8.2012届江苏高考数学二轮复习教学案(详解)--等差数列与等比数列

凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]第10讲等差数列与等比数列1.理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式．2.数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想．填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题．1.在数列{an}中，an＝4n－52，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝________.2.已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15.若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于________．3.设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项和为________．4.已知等比数列{an}满足a10，a1006＝2，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a2011＝________.【例1】等差数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，前n项和为Tn，且b2S2＝12，b3S3＝81.(1)求an与bn;(2)求Sn与Tn；(3)设cn＝anbn，{cn}的前n项和为Mn，求Mn.【例2】等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【例3】设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail](2)试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．【例4】已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，bn＝3an.(1)试证数列an－13×2n是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．(2)在数列{bn}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．(3)试证在数列{bn}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．1.(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.2.(2011·辽宁)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为________.3.(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．4.(2010·天津)设{an}是等比数列，公比q＝2，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝17Sn－S2nan＋1，n∈N＋，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝________.5.(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．6.(2009·广东)已知点1，13是函数f(x)＝ax(a0，a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn＋1(n≥2)．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail](1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若数列1bnbn＋1前n项和为Tn，问Tn10002009的最小正整数n是多少？(2011·辽宁)(本小题满分12分)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列an2n－1的前n项和．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得a1＋d＝0，2a1＋12d＝－10，(2分)解得a1＝1，d＝－1.(4分)故数列{an}的通项公式为an＝2－n(n∈N*)．(5分)(2)设数列an2n－1的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a22＋…＋an2n－1，①故S1＝1.(7分)Sn2＝a12＋a24＋…＋an2n.②所以，当n1时，①－②得Sn2＝a1＋a2－a12＋…＋an－an－12n－1－an2n＝1－12＋14＋…＋12n－1－2－n2n＝1－1－12n－1－2－n2n，(9分)所以Sn＝n2n－1，n＝1适合，综上数列an2n－1的前n项和Sn＝n2n－1.(12分)第10讲等差数列与等比数列1.若数列{an}，{bn}的通项公式分别是an＝(－1)n＋2007·a，bn＝2＋－1n＋2008n，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是____________．【答案】[－2,1]解析：a＞0时，an的最大值为a(n取奇数)，bn的最小值为1，a＝0，bn＞0，an＜bn恒成立，a＜0时，an的最大值为－a(n取偶数)，bn＞2，－a≤2，综上，a∈[－2,1)．2.已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]＋2，…，a2m是首项为12，公比为12的等比数列(其中m≥3，m∈N*)，并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．(1)当m＝12时，求a2010；(2)若a52＝1128，试求m的值；(3)判断是否存在m(m≥3，m∈N*)，使得S128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)m＝12时，数列的周期为24.∵2010＝24×83＋18，而a18是等比数列中的项，∴a2010＝a18＝a12＋6＝126＝164.(2)设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝12k.∵1128＝127，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．∴a52最多是第三个周期中的项．若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝1128.∴m＝52－7＝45；若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝1128.∴3m＝45，m＝15；若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝1128.∴5m＝45，m＝9；综上，m＝45，或15，或9.(3)2m是此数列的周期，∴S128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和．∴S2m最大时，S128m＋3最大．∵S2m＝10m＋mm－12×(－2)＋121－12m1－12＝－m2＋11m＋1－12m＝－m－1122＋1254－12m，当m＝6时，S2m＝31－164＝306364；当m≤5时，S2m＜306364；当m≥7时，S2m＜－(7－112)2＋1254＝29＜306364.∴当m＝6时，S2m取得最大值，则S128m＋3取得最大值为64×306364＋24＝2007.由此可知，不存在m(m≥3，m∈N*)，使得S128m＋3≥2010成立．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]基础训练1.－1解析：{an}为等差数列，则Sn＝2n2－12n，∴a＝2，b＝－12.2.90解析：an＝3n，bn＝6n.3.1274.2011解析：log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a2011＝log2(a1a2a3…a2011)＝log2[(a1a2011)(a2a2010)…(a1005a1007)a1006]＝log2[(22)1005×2]＝log222011＝2011.例题选讲例1解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有S3b3＝3＋3dq2＝81，S2b2＝2＋dq＝12，解得d＝2，q＝3或d＝－23，q＝9.(舍去)故an＝1＋2(n－1)，an＝2n－1，bn＝3n－1.(2)Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，Tn＝1－3n1－3＝3n－12.(3)cn＝(2n－1)×3n－1，Mn＝1＋3×3＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，①3Mn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，②①－②得－2Mn＝1＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n－1)×3n，Mn＝(n－1)×3n＋1.变式训练等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，从而q＝－12.(2)由已知可得a1－a1－122＝3，故a1＝4.从而Sn＝41－－12n1－－12＝831－－12n.例2解：(1)由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0,∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0，∴p＋r22＝pr,(p－r)2＝0,∴p＝r.这与p≠r矛盾．故数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．变式训练设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．(1)求a1及an；(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．解：(1)当n＝1，a1＝S1＝k＋1，n≥2，an＝Sn－Sn－1＝kn2＋n－[k(n－1)2＋(n－1)]＝2kn－k＋1，(*)经检验，n＝1，(*)式成立，∴an＝2kn－k＋1(n∈N*)．(2)∵am，a2m，a4m成等比数列，∴a22m＝am·a4m，即(4km－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，整理得：mk(k－1)＝0，对任意的m∈N*成立，∴k＝0或k＝1.例3解：(1)设公差为d，则a22－a25＝a24－a23，由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0，又由S7＝7得7a1＋7×62d＝7，解得a1＝－5，d＝2，所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.(2)