8.3双曲线及其标准方程教学设计

1《双曲线及其标准方程（1）》山东省莱州市第五中学数学组宿东华一、：课程分析（一）教材的地位、作用：双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，教材将其安排在第二部分，前有椭圆知识及学习方法的铺垫，后有抛物线学习的综合与加强，有利于掌握和巩固．教材为其安排了两课时内容，本课的主要内容是：①探求轨迹（双曲线）；②学习双曲线概念；③推导双曲线标准方程；④学习标准方程的简单求法．（例2开始的内容安排在第2课时）（二）教学重点、难点：双曲线的定义及其标准方程的探求；学习用解析法求曲线的轨迹方程。二、学情分析：学生已经学过了椭圆的学习，了解椭圆的定义，经历了根据椭圆的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆标准方程，掌握了椭圆的几何性质。基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法．而双曲线问题与椭圆问题有类似性，学习中可采用类比的方法进行学习，注意二者的异同。对于双曲线学习与椭圆的不同，除了本身的内容区别外，还有一个因素值得重视．那就是，学生在学习椭圆之前对椭圆的了解几乎是空白，但学生在学习双曲线之前其头脑中“已有了双曲线”，即“反比例函数的图象”．这种概念重建的过程，有认知上的冲突，蕴含丰富的教学价值．三、设计理念：课堂教学的中心是学生的学习活动，教学的根本任务是教学生学。本设计努力挖掘内容的本质和联系，充分考虑学生的学习基础和思维发展方向，力求教学过程的自然流畅．在教学方法上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、合作等多种方式，力求灵活运用．在教学目标上，以突出解析思想为主，容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体，力求多元价值取向．四、教学目标：1．经历双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的形状特征，学习获得曲线的方法；2．经历双曲线标准方程的推导过程，掌握双曲线标准方程，体验解析思想；3．经历双曲线概念的解读过程，全面了解双曲线及相关概念．五、教学过程：1、（1）复习椭圆定义：aMFMF2||||21图形：方程：12222byax，12222aybx（2）问题：到两个定点的距离差为定值的动点轨迹？（设计意图：提出问题，引发学生学习兴趣；同时对椭圆进行了复习。）（3）师生活动：让学生分小组作实验，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上个选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉2链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。2、在运动过程中，这条曲线上的点所满足的几何条件是什么？（设计意图：弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键所在。）分析实验中的“变”与“不变”，在拉链未拉开时|MF1|=|MF|;|FF2|是定长,|MF1|，|MF2|都在变化，但他们的差|MF2|-|MF1|不变。3、(1)感受曲线，解读概念我们可以说：演示得到的图形是双曲线（一部分）；曾经学过的反比例函数图象是双曲线．直观：双曲线有“两条”（两支），每一支“有点象”抛物线．认知冲突：（1）双曲线就是反比例函数图象？（2）双曲线就是“一双”曲线？(2)双曲线的定义：平面内，到两个定点的距离的差的绝对值为常数（小于两定点距离）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．数学简记：aMFMF2||||21（||22021FFca）4、推导方程，认识特性（1）问题：我们是怎样建立坐标系求椭圆的标准方程的？怎样建立适当的坐标系，求双曲线的方程呢？（设计意图：求曲线的方程时，建立坐标系要适当。）师生活动：所谓适当，应该分析曲线的某些特征（如对称性），使方程比较简单，以两定点所在直线为x轴，其中点为原点，建立直角坐标系xOy（2）、推导过程：设),(yxM，)0,(1cF，)0,(2cF，由aMFMF2||||21，得aycxycx2)()(2222问题：怎样化简上式？（设计意图：与化简椭圆方程联系，运用化简椭圆方程的经验。）师生活动：请2名学生板演化简过程，其他学生在练习本上化简，教师观察特别是学习有困难的学生。aycxycx2)()(222222222224)(4)()(aycxaycxycx222)(ycxaacx])[()(22222ycxaacx)()(22222222acayaxac，其中的平方变形，可以讨论其等价性3令222bac（0b），得222222bayaxb，即12222byax．疑虑：推导的过程是一个等价变形的过程吗？（3）、方程双曲线的标准方方程形式：12222byax12222bxay位置特征：焦点在x轴上焦点在y轴上焦点的中点在原点（中心在原点）数量特征：222bac（0,,cba）a2——aMFMF2||||21（实轴长）c2——cFF2||21（焦距）5、运用方程，体验思想例题（1）已知双曲线上一点P到两焦点)0,5(1F、)0,5(2F的距离的差的绝对值为6，求双曲线的方程．简解：双曲线有标准方程12222byax（0,0ba）．5c，62a，又222bac3a，4b．∴116922yx设计意图：此题的设计考察了双曲线的定义，及标准方程。（2）已知方程11222mymx表示双曲线，则m的取值范围是．简解：0)1)(2(mm2m，或1m设计意图：此题考查了双曲线的标准方程的特征。（1）双曲线定义中，若条件ca220不具备，轨迹还存在吗？简答：0a，直线；ca，两射线；ca，无轨迹．（2）怎么解释方程化简过程中的等价性？提示：分两支来讨论．（3）如何表示双曲线的一支？提示：几何关系上分a2和a2来表示；方程表示时加上变量的取值范围．（4）反比例函数的图象是双曲线吗？简答：反比例函数图象是特殊的双曲线（等轴双曲线）．且不是标准位置下的。六、教学反思：本节课体现以学生发展为本的教学理念，通过问题的设计引导学生层层推进，不断探索，最终得出双曲线的定义，标准方程。在教学过程中还将双曲线与椭圆进行类比学习，促进了学生认知结构的发展，明确了两种圆锥曲线的异同。从方程来确定a,b和焦点位置：“椭圆看大小，双曲线看符号”