932三重积分在直角坐标系下的计算

9.3.2三重积分在直角坐标系下的计算在空间直角坐标系中，如果分别用平行于三个坐标面的平面族（a、b、c为常数）去分割空间区域，则除边界上可能出现不规则的子域外，其余的子域都是长方体，取一个代表性子域，其相邻三棱分别为，则的体积元素为三重积分可化为三次积分进行计算，计算的关键还是定限。如果平行坐标轴oz且穿过的直线与边界的交点不超过两个，那么它的定限步骤如下：（1）将空间闭区域投影到xoy平面上，得到在xoy平面上的一个平面闭区域D；（2）在D上任取一点作平行于z轴的直线，与边界曲面交点的竖坐标和且假定，显然，（如右图）那么，有（1）在对z积分时，把x、y看成常数，积出后再在D上计算二重积分。对于二重积分在平面直角坐标系中的定限法前面已作介绍，因此由公式（1）和二重积分化为累次积分的公式，就可以把三重积分化为累次积分进行计算。三重积分也可以先积y或先积x，这时需要先把空间区域分别投影到xz平面或yz平面上，得到投影区域D,在D上任取一点作平行于y轴或x轴的直线，在与的边界曲面相交不多于两点的条件下，就可仿照上面的定限法，得到与公式（1）相类似的公式。例1：计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。解:作闭区域如下右图所示。将投影到面上，得投影区域为三角形闭区域.直线、及的方程依次为、及，所以D可用不等式来表示。在内任取一点（x,y），过此点作平行于轴的直线，该直线通过平面穿入内，然后通过平面穿出外。于是，由公式（1）得