9第9讲24

1第9讲Ch.2随机变量及其分布§2.4常用离散型分布Remark讨论常用分布的目的及常用分布的类型§2.4§2.5常用离散型分布（中讨论)常用分布常用连续型分布（中讨论）2.4.1二项分布(以n重伯努利试验为背景的分布)1.二项分布的定义与记号记X“n重伯努利试验中A发生(即‘成功’)的次数”，则X为离散型..VR，其可能值为n,,2,1,0.且由事件的独立性可得nkppCkXPknkkn,,2,1,0,)1()(.其中)(APp,满足10p.基于这种试验的背景，可以给出二项分布的定义与记号如下：若..VRX的分布列为nkppCkXPknkkn,,2,1,0,)1()(,则称X服从参数为pn,的二项分布（因其形式而得名），记为~Xb),(pn.Remarks)i容易验证二项分布的分布列满足非负性，正则性..93.P)ii实际中二项分布的例子：.93.P2☆检查不合格品率为p的一批产品中的10件，其中不合格品数~Xb),10(p；☆随机调查色盲率为p的任意50个人中的色盲人数~Yb),50(p；☆命中率为p的射手5次射击中命中次数~Zb),5(p.2.利用二项分布的分布列计算概率例2.4.1(题目叙述没有区分患者与健康者！换讲.104.P习题的第2题)一条自动化生产线上产品一级品率为0.8，检查5件，求至少有2件一级品的概率.解记X=“抽检5件产品中一级品的件数”，则依题意可知~Xb)8.0,5(，于是(P抽检5件中至少有2件是一级品)5400115521210110.810.80.810.80.99328PXPXPXPXCC例2.4.2已知~Xb),2(p，~Yb),3(p，若519PX，求1PY.3解由~Xb),2(p及519PX，得54011199PXPX，即94)1(2002ppC，解之得31p或34p(舍去),于是~Yb)31,3(，所以03031119110113327PYPYC.3.二点分布(二项分布的特殊情形)1n的二项分布),1(pb称为二点分布，或称0-1分布，易见，若..VRX的分布为二点分布),1(pb，则其分布列为1,0,)1()(1xppxXPxx.表格列示就是X01Pp1pRemark(回到n重伯努利试验背景下，探讨二项分布与二点分布的有用关系.)记X“n重伯努利试验中‘成功’的次数”，4则~,Xbnp；又记iXn重伯努利试验中第i次试验'成功'的次数，则~1,,1,2,,,iXbpin易见1,2,,nXXX相互独立(..VR的独立性第三章中讨论)，且1niiXX.这结果表明：服从二项分布),(pnb的..VR是n个独立的二点分布),1(pb的..VR之和.4.二项分布的期望与方差若..VR~,Xbnp，则EXnp，1DXnpp.Proof由~,Xbnp，得1,0,1,,nkkknPXkCPpkn于是nkkXkPEX0)(nkknkknppkC1)1(nkknkknppkCnp1)1()1(111)1(1)]1([nppnpnp.又5nknppnnkXPkXE0222)1()()(，于是)1()()1()()(2222pnpnpnppnnEXXEDX.Remarks)i若X～),1(pb，则)1(,ppDXpEX.)iin一定时，对服从二项分布),(pnb的..VRX取k的概率，即)(kXP变化特点的描述：如..VRX～),10(pb，p分别取8.0,5.0,2.0时，)(kXP的变化特点是1))(kXP的峰值出现在接近np的k值处；2))(kXP的峰值随p的增大而右移.教材.95.P有相应的图形揭示.例2.4.3(自学)2.4.2泊松分布1.泊松分布定义与记号若..VRX的分布列为,2,1,0,!)(kekkXPk.其中0，则称X服从参数为的泊松分布，记为X～)(P.Remarks)i泊松分布的分布列满足非负性和正则性.)ii一本书中的出错处数是服从泊松分布的；其它服从6泊松分布的实例..96.P2.泊松分布的期望与方差若X～)(P，则DXEX.(参数既是期望也是方差！)Proof.9796.PRemarks)i若X～)(P，则DXEX.记住这个结论是主要的，其证明看过即可.)ii对服从泊松分布)(P的..VRX取k的概率，即)(kXP变化特点的描述：如..VRX～)(P，分别取0.4,0.2,8.0时，)(kXP的变化特点是1))(kXP的峰值出现在接近的k值处；2))(kXP的分布随的增大趋于对称.教材.97.P有相应的图形揭示.3.泊松分布应用例例2.4.4一个铸件上的砂眼(缺陷)数服从参数为5.0的泊松分布，试求此铸件上至多有1个砂眼(合格品)的概率和至少有2个砂眼(不合格品)的概率.解记X=“该铸件上的砂眼数”，则X～)5.0(P，于是7(P铸件合格)=910.0)1(XP.(用1,5.0k查.421.P的泊松分布表)从而(P铸件不合格)=09.0910.01)1(1XP.例2.4.5.98.P(自学)4.二项分布的泊松分布近似Remark问题：二项分布概率计算在n较大时计算量很大，如何处理？解决方法：转为泊松分布作近似计算.理论依据：泊松定理.定理2.4.1（泊松定理）若..VR~,Xbnp,则当n充分大，且p足够小时，则有()(1)!kkknknPXkppekC，其中np.Proof.98.P(略)Remarks)i使用泊松定理对二项分布有关概率作近似计算的条件不是很明确，其实想用都可用，如果n不是很大，p不是很小时，也用这种近似计算，不是不可以，只是8近似的效果不好而已.)ii对不同的n、p值，利用定理2.4.1的近似效果揭示.见.99.P表2.4.3.☆泊松定理应用例例2.4.6已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，求该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率.解设X=“该单位患此病的人数”，则X~)001.0,5000(b，于是(P该单位5000人患此病的人数不超5人))5(XP5050005000)001.01(001.0kkkkC，这里n=5000较大，p=0.001也是足够小，于是，由泊松定理可取5001.05000np，做近似计算，所求概率为616.0!5)5(50kkkXP.最后一步用5,5k查.476.P的泊松分布表得到.例2.4.7有10000名同年龄段且同社会阶层的人9参加了某保险公司的一项人寿保险，每个投保人在每年初需交纳200元保费，而在这一年中若投保人意外死亡则受益人可从保险公司获得100000元的赔偿.据生命表知这类人的年死亡率为0.001.试求保险公司在这项业务上(1)亏本的概率；(2)至少获利500000元的概率.解记X=“10000名投保人中在一年内死亡的人数”，则X~b(10000,0.001)，又保费收入为10000200200万元(1)易见，事件“亏本”=“10200X”=“20X”,这里n=10000已充分大，p=0.001也是足够小.于是，由泊松定理可取10001.010000np，做近似计算，所求概率为)20()(XPP亏本002.0998.01!101)20(1200kkkXP.其中，倒数第二步用20,10k查.476.P的泊10松分布表得到.(2)注意到，事件“至少获利50万元”=“1050200X”=“15X”，于是(P至少获利50万元)15()XP951.0!10150kkk.其中，最后一步用15,10k查.476.P的泊松分布表得到.例2.4.8（自学）2.4.3超几何分布.102101.P2.4.4几何分布与负二项分布.104102.PRemark同学们自行了解以上两个专题的内容.☆课外作业：习题2.4.106104.P3.6.7.课外思考：习题2.4.106104.P9.15.