9第九讲定积分的证明问题与应用

1泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第九讲定积分的证明题与应用课时数2教学目的通过教学使学生掌握有关定积分的存在性问题与不等式的证明方法，掌握微元法、面积、体积及弧长的计算。重点难点1不定积分有关的的存在性问题的证明；2不定积分有关的的不等式的证明；3．面积、体积、弧长的计算。教学提纲第九讲定积分的证明题与应用一、定积分的性质二、定积分证明题（１）存在性证明（２）积分表示的不等式的证明三、定积分应用1．微元法2．面积（1）直角坐标情形（2）极坐标情形3．体积4．弧长1）y=f(x)在区间[a,b]上可导，且)(xf连续，则在[a,b]上的曲线可求长，且弧长dxxfLba)(12，是弧长公式。2）参数方程)(tx)(ty（x）与在，上连续，则dtttL222教学过程与内容教学后记第九讲定积分的证明题与应用一、定积分的性质（１）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.（２）线性性：badxxsgxkf)]()([badxxfk)(badxxgs)(（３）区间可加性：badxxf)(bccadxxfdxxf)()(（４）不等性：],[ba上)()(xgxf，则dxxfba)(dxxgba)(.)(badxxfba)(dxxfba)(.)(ba（５）积分中值定理：如果函数)(xf，)(xg在闭区间],[ba上连续，)(xg在],[ba上不变号，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxgxfba)()(badxxgf)()(.当1)(＝xg时))(()(abfdxxfba二、定积分证明题1.存在性证明例1:)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(上可导，又210)(2)1(dxxff，证明存在)1,0(，使得0)(f。【分析】凡是微分中值定理中又涉及积分中值定理的，应首先应用积分中值定理获取一些特定点的函数值信息，再用微分中值定理证明。【证明】)(xf在]1,0[上连续，在]21,0[上使用积分中值定理得，存在c]21,0[，)021)((2)1(cff，即)()1(cff，在]1,[c上使用罗尔中值定理知存在)1,0(，使得0)(f。例２:)(xf在]2,0[上连续，在)2,0(上二阶可导，又0)21()0(ff，121)2()(2fdxxf，证明存在)2,0(，使得0)(f。3【分析】先用积分中值定理知存在c]121[，，)()2(cff，三次使用罗尔定理得证。【证明】略例３:)(xf在],[ba上连续，在0)(xf上二阶可导，证明存在),(ba，使得babadxxfdxxfdxxf)(21)()(。例４:)(xf在],0[上连续，在0)(0dxxf，0cos)(0xdxxf，证明存在不同的点),0(,21，使得0)()(21ff。【证】令xdttfxF0)()(，)()(xfxF，0)()0(FF0000)(sin|)(cos)(coscos)(dxxxFxxFxxdFxdxxf0)(sindxxxF＝０存在),0(使得0)(sinF，0)(,0sinF………,两次使用中值定理得证。2.积分表示的不等式的证明例５:比较大小dtttdtttnn|ln|)]1[ln(ln１０１０与【证明】在]1,0[上，ttttttttnnnnln)]1[ln(ln)]1[ln(,0)1ln(，dtttdtttnn|ln|)]1[ln(ln１０１０例６:设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(xf,0)(xg.证明：对任何a]1,0[,有agafdxxgxfdxxfxg010).1()()()()()(证：)(xFxgxfdttgtfdttftg010)1()()()()()(，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且)(xF)]1()()[()1()()()(gxgxfgxfxfxg，由于]1,0[x时，0)(,0)(xgxf，因此0)(xF，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到)1(F1010)1()1()()()()(gfdttgtfdttftg，而10101010)()()()()()()()(dttgtftftgtdftgdttftg4=10)()()1()1(dttgtfgf，故F(1)=0.因此]1,0[x时，0)(xF，由此可得对任何]1,0[a，有agafdxxgxfdxxfxg010).1()()()()()(例7:设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足xaxadttgdttf)()(，x[a,b)，babadttgdttf)()(.证明：babadxxxgdxxxf)()(.【证明】令F(x)=f(x)g(x)，xadttFxG)()(，由题设G(x)0，x[a,b]，G(a)=G(b)=0，)()(xFxG.从而bababababadxxGdxxGxxGxxdGdxxxF)()()()()(，由于G(x)0，x[a,b]，故有0)(badxxG，即0)(badxxxF.因此babadxxxgdxxxf)()(.例８:设f(x)在]1,0[上连续，且单调减小，0)(xf，证明，当10时，00)()(dxxfdxxf【证明】令xdttfdttfxxF00)()()(10x………….三、定积分应用1．微元法许多可以化为求)(xfy在区间[a,b]上的定积分的实际问题，都可以用这种方法处理，这个方法称为：元素法。其步骤如下：1()2()baAdxfxdxAfxdx写出所求量的元素：则2．面积（1）直角坐标情形5设图形由bxaxxgyxfy,),(),(，（ab）围成，且)()(xgxf，则所围成的面积A：badxxfxgAdxxfxgdA)]()([)]()([例８：计算由曲线)0(,ln,ln,lnabbyayyxy轴与直线。【解】aabaabaSlnln)ln(ln1babaxdxabbxdxxbSln)ln(]ln[ln2abaabbbabblnlnlnln所以：S=21SS=ab（2）极坐标情形设图形由)(,,),(rr围成的曲边扇形，任取],[d上的小曲边扇形，则：drAdrdA)(21,)(2122例９：计算心形线),cos1(ar(常数a＞０)所围成图形的面积：【解】该心形线所围成图形为心状，根据求曲边扇形的面积公式：daA201)]cos1([210]2sin41sin223[22a243a再根据图形的对称性知，所得面积：Ａ＝12A＝223a。3．体积（1）平行截面已知的立方体体积:dxxAVba)(.（2）旋转体的体积:对曲线)(xfy,bxa,6dxxfVbax)(2.例10：过点)0.1(P作抛物线2xy的切线，求该切线与抛物线2yx及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。【解】设切点为)2,(00xx切线方程1(1)220yxx切点在切线上，∴12(1)00220xxx30x，∴切线方程：1(1)2yx3123(1)(2)4612Vxdxxdxx。4弧长(1)y=f(x)在区间[a,b]上可导，且)(xf连续，则在[a,b]上的曲线可求长，且弧长dxxfLba)(12，是弧长公式。(2）参数方程)(tx)(ty（x）与在，上连续，则dtttL22例1:求曲线1yx的全长（的周长222ayx）【解】xy1xxy21xy11xxy1221210122xxLdx令x=tdx=2tdt当x=0时t=0节当x=1时t=1则102122dtxxL=dtx10241)21(22=1+2)21ln(221。7