A题埃博拉病毒的根除最终

1A题埃博拉病毒的根除摘要为了根除埃博拉病毒，根据埃博拉病毒的传播率、感染者人数的预测、药物的合理分配和隔离人数的比重，本文运用随机微分方程、产销平衡和最优控制三种算法分别建立了SIR模型、线性规划模型和最优隔离控制模型。这三个模型分别解决了埃博拉病毒的传播规律及感染者人数的预测问题、药物的运输问题和以隔离控制为决定性作用因素的优化问题。针对模型一：首先通过Excel线性拟合分析埃博拉病毒的传播，得到结论：在没有使用药物治疗时，受埃博拉病毒感染的确诊病例及死亡的人数急剧增长。然后，建立了SIR模型来预测使用药物后的变化趋势，利用Matlab画出,ItSt的比例曲线，发现病人比例减少。针对模型二：假设几内亚、利比里亚、塞拉利昂为需求地，美国、中国、日本、俄罗斯、法国以及瑞士为药物生产地。利用产销平衡原理，建立了时间优化模型，通过Lingo求得运输到各地用时最短的调运方案为:瑞士运往几内亚耗时4.7小时，美国、日本、俄国运往利比里亚共耗时15.8小时，中国、俄国、法国、瑞士运往塞拉利昂共耗时13小时。针对模型三：本模型基于SIR模型，利用极值原理给出了最优控制的设计方案，把易感染者、染病者、治愈者、隔离者以及总人口数作为初始值代入目标函数，存在一个最优控制因素，再将其对应的状态解代入协态方程，得到最优控制因素，即隔离的确切最优解。关键字:埃博拉病毒；SIR；线性规划；产销平衡；Matlab；Lingo2一、问题重述根除埃博拉病毒世界医学协会已经宣布他们的新药物能阻止埃博拉病毒并可治愈那些得非晚期疾病的患者。建立一个可行的，明智的，有用的模型，模型不仅要考虑疾病的蔓延、药物的需求量、可能可行的输送系统、输送的位置、疫苗或药物的生产速度，也要考虑你的团队认为有必要作为模型的一部分来优化根除埃博拉病毒，或者至少解决目前压力的其他重要因素。除了你比赛论文中的建模方法，你还要为世界医学协会在他们的公告中准备使用一封1-2页的非技术性的信。二、问题分析本文关于埃博拉病毒的传播、患病人数的预测、药物的需求量、可行的运输系统、疫苗的预防及药物的治疗、气候、车辆、地形等几个方面展开研究和讨论。模型一主要解决疾病的传播和患病人口的预测问题。考虑到埃博拉病毒的传播速度非常快，通过参考以往传染病的有关文章，本文建立了SIR模型，得到了健康人和患者随时间变化的数量关系方程。为了求解方程，根据收集来自WHO的官方数据，得到2014年11月到2015年5月的确诊病例数和死亡人数，从而得到,ItSt的两个图形，进而预测未来的患病人数。在此基础上，再解决药物需求量的问题。首先假设埃博拉病毒的传播遵循所建立的模型一，然后将收集到的使用药物治疗后患者人数变化的有关数据进行计算和分析，得到病人数量将会影响药物需求量的结论。模型二主要解决药物的运输时间及成本问题。由于几内亚、利比里亚和塞拉利昂这三个国家患病人数最多，所以选择这三个国家作为需求地。现在具备疫苗或药物生产能力的国家：美国、中国、日本、俄国、法国和瑞士。本文选择这六个国家作为产地。本模型只考虑在生产地和需求地之间的药物运输。首先保证各国所使用的运输机为同款运输机，在运输过程中，速度均为同等速度。本文将产销平衡模型中的成本替换成运输所用时间，这样成本最低变成时间最短。然后结合模型一中的患病人口预测结果，再加上每个病人对应药量的比例系数，则计算3出任意时刻所需要的药物总量。在满足各需求地需求量的前提下，本文再利用线性规划模型得到最优调运方案，即时间优化模型。模型三在模型一、二、的基础上，分析其他可以消灭埃博拉病毒的决定性因素。首先，本文使用最优隔离控制法，把易感染者、染病者、治愈者、隔离者以及总人口数作为初始值代入目标函数，则会存在一个最优控制因素，再将其对应的状态解代入协态方程，得到最优控制因素，即隔离的确切最优解。然后，本文分别考虑了气候、运输工具、地形三个因素对埃博拉病毒传播的影响，并得出了相应的结果。三、基本假设与符号说明2.1基本假设（1）埃博拉病毒能够被生物传播，并且当易感者接触患者时，他们被传染；（2）我们知道的埃博拉病毒有5种，假定每一种埃博拉病毒的传播能力是相同的；（3）每一个人被治愈的可能性是相同的，并且有相同的免疫力；（4）被治愈的人不会再次被传染，当患者被治愈后，他们将对于埃博拉病毒有免疫力；（5）埃博拉病毒的传播遵循所建立的模型一；（6）当实施药物治疗的时候，不计损失；（7）药物的运输对药物的需求有影响；（8）每位感染者的用药量均为一剂量，虽然目前已经研制出应对埃博拉病毒的疫苗或药物，但是不同感染程度的患者所需实际的药剂量数据不易获得；（9）疫苗与药物的生产地，开始培育的时间以及生产速度均相同，且培养药物和疫苗的周期均为t，但两者的作用对象不同，疫苗作用于健康人群，而药物作用于感染者；（10）各地生产药物的速度相同，每批生产的药量满足前三个国家的需求量；（11）运输问题中各个产地的产量相同，用来运送药物的飞机类型相同，且保持相同速度行进；4（12）收集到的数据都是真实可靠的；2.2符号说明I:患者的数量比例；S:健康人的数量比例；R：康复者和死亡者的数量比例；:死亡率；：感染率；：康复率（被隔离的病人治愈率）；N:药物运达需求地点时的感染者人数；t：培育一批药物或疫苗的时间；ijc：从iA到jB运输药物的成本；ijx：从iA到jB的运量；W：环境中的总人口数；J：被隔离患者人数；u：对染病者实施隔离控制的比例；：出生率=死亡率；：未被隔离染病者死亡率；s：易感者人数；i：染病者人数；r：病愈者人数；q：不易感病者输入比率；：没有被隔离治疗者治愈率。四、模型一的建立及求解4.1模型一的建立埃博拉病毒的传播速度非常快，如果想要克服这个难题，并且使用有效的医疗方法根除埃博拉病毒，必须寻找一种科学且有效的方法来掌握埃博拉病毒的传5播规律。所以，我们建立了SIR模型来解决这个问题。根据符号定义，能够得到等式：1ItStRt⑴设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为St，NIt个发病者平均每天能使StNIt个易感者成为病毒潜伏者。所以有：dStStItdt⑵单位时间内康复者和死亡者的变化等于发病人群的减少，即dRtItdt⑶发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即dItStItItdt⑷记初始时刻的健康者和患者的比例分别为0S、0R（不妨设00R）。根据SIR模型的准则，得到下列方程组：00()()()()00dIStItItdtdSStItdtIISS⑸结合⑴式和⑸式，得到0RtStSe⑹通过微积分，结合⑵式、⑹式和⑺式，求解方程组，得到000SISSISInS⑺⑺式阐述了健康人和患者随时间变化的数量关系。4.2模型一的求解6根据以上分析，得到了分析患者和健康人比例趋势的方法，接下来，求解模型如下：4.2.1没有药物治疗时确诊病例及死亡人数的变化趋势除了预防措施，没有药物治疗。换句话说，健康人的数量比例是很小的，从网站http://.who.int/en/收集得到几内亚的有关数据，数据从2014年11月到2015年5月，每半个月统计一次，。用Excel做线性拟合，得到下图：图1：确证病例的数量趋势图2：死亡人数趋势图1表明确诊病例数量在没有药物治疗的情况下急剧增长，因此，我们得出050010001500200025003000350040002014/9/182014/11/72014/12/272015/2/152015/4/62015/5/26患病确诊人数日期Guinea050010001500200025003000350040002014/9/182014/11/72014/12/272015/2/152015/4/62015/5/26死亡人数日期Guinea7结论预防措施对患者的数量减少没有效果。图2表明在没有药物治疗的情况下死亡人数也急剧增长。死亡人数的趋势与确诊病例数量有关，因此，我们得出结论预防措施不能阻止埃博拉病毒的传播。4.2.2新药物治疗方法下确诊病例及死亡人数的变化趋势新药物能阻止埃博拉病毒并治愈那些得非晚期疾病的患者，健康人数的比例将会上升，患者比例将会下降。根据⑺式，得到图3：图3：健康人和患者关系曲线分析上图，当0S时，表明且没有使用药物治疗。死亡人数随着时间增长上升，健康人数增加且当0S时，达到最大值P。因此，把0S代入⑺式，得到0001mISIInS⑻当0S时，表明且使用药物治疗。死亡人数不断减少，最终到0；健康人数不断增加，直到达到最优值，最优值为S。通过以上分析，初始时间时001SI，要想得到It的表达式，必须先做数值运算。根据世界卫生组织公布的2014年12月到2015年2月埃博拉病毒疫情数据（见附录1），包括日累计确诊病例、日累计治愈病例等，其中缺失的部8分数据，通过给定的数据拟合得到。以12月2日为基日，当日累计确诊病例1949例，累计治愈病例534例，故00.98S00.02I平均日感染率、平均日康复率和平均日死亡率由每天相应数据平均求得0.97,0.274,0.05。将上述计算结果代入⑸式，用Matlab编程（代码见附录2），输出的简明计算结果如表1：表1I(t),S(t)的数值计算结果t012345678I(t)0.02000.03870.07220.12680.20180.28110.33920.35970.3458S(t)0.98000.95340.90480.82300.70260.55570.41010.29110.2062t91015202530354045I(t)0.31030.26650.09360.02850.00840.00250.00070.00020.0001S(t)0.14990.11310.04960.03810.03510.03430.03410.03400.0340,ItSt的两个图形如下：9图4:,ItSt的比例在数值计算和图⑷观察的基础上，得出结论：根据建立的预测模型，使用药物治疗之后，埃博拉病毒将会停止传播，患病者的比例将会减少，几乎为0。根据假设，能够得出结论：药物的需求量受病人数量的影响。设M为药物需求量，G为病人数量，易得：MGWIt⑼将收集到的使用药物治疗后患者人数变化的有关数据进行计算和分析，得到表2：表23个月的药物需求量变化时间（周）药物需求量（剂）13400339255313962386716000510152025303540455000.10.20.30.40.50.60.70.80.91i(t)病人比例s(t)健康比例10945610182122从表2可以得出结论：药物的需求量将会减少，当没有埃博拉病毒时，药物的需求量为0。五、模型二的建立及求解5.1模型二的建立在药物或疫苗运输方面，通过建立线性规划模型，在满足各需求地需求量的前提下，制定相应调运方案，将这些物资运到各个需求地，得到运输到各地用时最短的调运方案。考虑到成本问题，仅研究供求相等的情况。已知有m个生产地点，1,2,,iAim可供应药物，其供应量分别为1,2,,iaim，由n个需求地1,2,,jBjn，其需求量分别为1,2,,jbjn，从iA到jB运送药物的单位时间成本为ijc，见表3：表3药物运输时间成本表产地需求地产量1B2BnB1A11C12C1nC1a2A21C22C2nC2amA1mC2mCmnCma需求量1b2bnb建立如下数学模型：1111minmnijijijzcx满足111,2,,..1,2,,0nijijmijjiijxainstxbjmx5.2模型二的求解设12