B第2章随机变量及其分布浙江农林.

概率论与数理统计概率论与数理统计第2页返回目录第二章随机变量及其分布§1随机变量§2离散型随机变量及其分布§3连续型随机变量及其分布§4随机变量函数的分布第二章习题课概率论与数理统计第3页返回目录概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念．第二章随机变量及其分布概率论与数理统计第4页返回目录•有些试验结果本身与数值有关：（1）掷一颗骰子面上出现的点数；（4）七月份临安的最高温度；（2）每天到杭州下火车的人数；（3）昆虫的产卵数；§1随机变量概率论与数理统计第5页返回目录在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.例在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.Ω={红色、白色}非数量将Ω数量化?概率论与数理统计第6页返回目录即有X(红色)=1,X(白色)=0.这样便将非数量的Ω={红色，白色}数量化了.白色红色,0,1X概率论与数理统计第7页返回目录§1.1随机变量的概念定义设随机试验E的样本空间是，如果对每一样本点都有唯一的一个实数()X与之对应，得到一个从样本空间到实数域R上的映射)(XX，这样的映射称为定义在上的一个随机变量（Randomvariable）．概率论与数理统计第8页返回目录例掷一颗骰子，令X表示出现的点数，则X就是一个随机变量．它的所有可能取值为1，2，3，4，5，6．{3}X表示掷出的点数不超过3这一随机事件；{2}X表示掷出的点数大于2这一随机事件．概率论与数理统计第9页返回目录例上午8:00～9:00在某路口观察，令X为该时间间隔内通过的汽车数，则X就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．{1000}X表示通过的汽车数小于1000辆这一随机事件；{500}X表示通过的汽车数大于等于500辆这一随机事件．概率论与数理统计第10页返回目录例一个公交车站，每隔10分钟有一辆公共汽车通过，一位乘客在任一随机时刻到达该站，则乘客等车时间X为一随机变量，它的取值为：010X．{5}X表示等车时间不超过5分钟这一随机事件；{28}X表示等车时间超过2分钟而不超过8分钟这样的随机事件．概率论与数理统计第11页返回目录例掷一颗骰子，可以定义多个不同的随机变量：在同一样本空间上可以定义不同的随机变量．1,20,2xYx1,60,6xZx概率论与数理统计第12页返回目录§1.2随机变量的分类定义若随机变量X只可能取有限个值或可列无限个值（即取值能够一一列举出来），则称X为离散型随机变量（Discreterandomvariable），否则称为非离散型随机变量．若随机变量X可能取值充满数轴上的一个区间，随机变量X称为连续型随机变量（Continuousrandomvariable）.概率论与数理统计第13页返回目录离散型随机变量连续型非离散型其它连续型例随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误差”，则X的取值范围为：(a,b)连续型例随机变量X为“灯泡的寿命”，则X的取值范围为：[0,)概率论与数理统计第14页返回目录离散型例若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X的可能值是:.,3,2,1离散型例设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”，则X的所有可能取值为:.30,,3,2,1,0概率论与数理统计第15页返回目录对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值,要知道X取这些值的概率;而且更重要的是想知道X在任意有限区间(a,b)内取值的概率.}{21xXxP}{}{12xXPxXP)(2xF)(1xF}{21xXxP分布函数).()(12xFxF?例如.],(21内的概率落在区间求随机变量xxX§1.3分布函数概率论与数理统计第16页返回目录定义设X是样本空间上的随机变量，x为任意实数，函数(){}FxPXx称为随机变量X的分布函数（Distributionfunction），记作()Fx．说明(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况..)()2(的一个普通实函数是分布函数xxF概率论与数理统计第17页返回目录例抛掷均匀硬币,令求随机变量X的分布函数.解}1{Xp}0{Xp,2101x,0时当x;0}0{)(xXPxF出现反面出现正面,0,1X概率论与数理统计第18页返回目录01x,10时当x}{)(xXPxF}0{XP;21,1时当x}{)(xXPxF}0{XP}1{XP2121.10,01(),0121,1xFxxx概率论与数理统计第19页返回目录例向半径为0.5米的圆形靶子射击，假设击中靶上任何同心圆的概率与该同心圆的面积成正比，且每次射击必中靶．令X表示弹着点到靶心距离，求X的分布函数()Fx．解（1）当0x时，{}Xx是不可能事件，故()()0FxPXx概率论与数理统计第20页返回目录（2）当00.5x时，由几何概率定义有：222()()4(0.5)xFxPXxx（3）当0.5x时，事件{}Xx为必然事件，故(){}1FxPXx（4）从而随机变量X的分布函数为20,0()4,00.51,0.5xFxxxx概率论与数理统计第21页返回目录§1.4分布函数的性质（1）单调性：()Fx是单调不减函数，即当12xx时，有12()()FxFx．（2）有界性：对任意实数x，有0()1Fx，且()lim()0xFFx()lim()1xFFx设()Fx为随机变量X的分布函数，则概率论与数理统计第22页返回目录（3）右连续性：()Fx是右连续的函数，即对任意实数x，有(0)()FxFx．（4）对任意实数12,xx12()xx，有1221{}{}{}PxXxPXxPXx21()()FxFx【注】满足单调性、有界性和右连续性这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.概率论与数理统计第23页返回目录单调性随机变量X的分布函数()Fx是单调不减函数，即当12xx时，有12()()FxFx．证明当12xx时2112()(){}0FxFxPxXx12()()FxFx概率论与数理统计第24页返回目录有界性设()Fx为随机变量X的分布函数，则对任意实数x，有0()1Fx，且()lim()0xFFx()lim()1xFFx)(lim)(lim)(lim)(limnFxFmFxFnxmx证明因为0≤F(x)≤1,且F(x)单调,故存在)}1{(}{1nnXnPXPnmimnniXiPnXnP}1{lim}1{)(lim)(lim])()1([limmFnFiFiFmnnmimn1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx概率论与数理统计第25页返回目录右连续性随机变量X的分布函数()Fx是右连续的函数，即对任意实数x，有(0)()FxFx．证明因为F(x)是单调有界函数,其任一点的右极限F(x+0)必存在.为证明右连续,只要对某一列单调下降的数列x1x2…xnx,(n∞),证明)()(limxFxFnn111()(){}{[]}nnnFxFxPxXxPxXx)0()(lim)(1xFxFxFnn111111{}[()()]lim()()nnnnnnnnPxXxFxFxFxFx概率论与数理统计第26页返回目录（4）对任意实数12,xx12()xx，有1221{}{}{}PxXxPXxPXx21()()FxFx证明当12xx时21{}{}XxXx1221{}{}{}xXxXxXx1221{}{}{}PxXxPXxPXx概率论与数理统计第27页返回目录其它00sin)(xxxF可见也说明F(x)不能是随机变量的分布函数.或者()lim()01xFFx解注意到函数()Fx在[2,]上下降，不满足单调不减性，故()Fx不能是分布函数.例设有函数()Fx，试说明()Fx能否是某个随机变量的分布函数.概率论与数理统计第28页返回目录§2离散型随机变量及其分布对于离散型随机变量，我们不仅想知道它能取哪些值，而且还想知道它取这些值的概率有多大．概率论与数理统计第29页返回目录§2.1概率分布定义设离散型随机变量X的一切可能取值为12,,,,nxxx，又已知X取值ix的概率为(1,2,)ipi，即{},1,2,iiPXxpi上述这组概率称为离散型随机变量X的概率分布（probabilitydistribution）或分布律（Lawofdistribution），也称概率函数．概率论与数理统计第30页返回目录离散型随机变量X的概率分布可用表格来表示：X1x2x…ix…P1p2p…ip…离散型随机变量X的分布律可以用图形来表示：概率论与数理统计第31页返回目录离散型随机变量X的概率分布满足以下两个基本性质：（1）非负性：0ip，1,2,i；（2）规范性：11iip．【注】满足非负性和规范性的数组(1,2,)ipi，一定是某个离散型随机变量的概率分布．§2.2概率分布的性质概率论与数理统计第32页返回目录例袋中有5只分别编号为1，2，3，4，5的球，从袋中同时随机地抽取3只，以X表示取出的球中的最大号码，试求随机变量X的分布律．解351{3}0.1PXC2335{4}0.3CPXC2435{5}0.6CPXCX345P0.10.30.6概率论与数理统计第33页返回目录例设随机变量X的概率分布为X123Pa27a2aa试确定常数a的值，并求分布函数()Fx．概率论与数理统计第34页返回目录解由概率分布的非负性知0a；再利用概率分布的规范性可得：2227()821aaaaaa；从中解得14a．1(1){1}4FPX11(2){1}{2}16FPXPX(3){1}{2}{3}1FPXPXPX概率论与数理统计第35页返回目录故所求的分布函数为0,11,124()11,23161,3xxFxxx概率论与数理统计第36页返回目录例设随机变量X的分布函数为0,10.2,12()0.7,241,4xxFxxx(1)求)3(XP,)321(XP及)2(XP；(2)求X的分布律.概率论与数理统计第37页返回目录解(1)7.0)3()3(FXP5.02.07.0)21()3()321(FFXP(2)1(2)PXPX1(20)F10.20.8概率论与数理统计第38页返回目录(2)由于000()()(0)PXxFxFx(1)0.200.2PX(2)0.70.20.5PX(4)10.70.3PXX-124P0.20.50.3故X的分布律为概率论与数理统计第39页返回目录§3连续型随机变量及其分布对于连续型随机变量，由于其值为有限区间或无限区间，不可能像离散型随机变量一样将其所有可能取值一一列出．分布函数尽管能描述随机变量的概率分布，但是它用起来不太方便，希望有一种比分布函数更能直观地描述连续型随机变