ch04符号运算

符号计算欧变玲[e-mail]数值计算与符号计算间的最重要区别在于：数值计算一定存在截断误差，且在计算过程中不断传播，而产生累积误差；符号计算是在完全准确情况下进行的，不产生累积误差。符号计算的准确性以降低计算速度和增加内存需求为代价。借助符号数、符号表达式等的“任意精度符号数表达式”可把纯符号计算变为所谓的“变精度算法”。这既兼顾计算精度和速度，又使无法用“解析式”表达的计算结果以简洁的“任意精度符号数”表达。课程内容1.符号变量、符号表达式和符号方程的生成2.符号变量的基本操作3.符号表达式的操作4.符号矩阵及符号数组的生成和运算5.符号微积分6.符号积分变换7.符号代数方程的求解8.图示化符号函数计算器的使用方法本章重点符号表达式和符号矩阵的操作符号微积分符号线性方程符号微分方程2020/1/11第7章符号运算51.符号变量、符号表达式和符号方程的生成使用sym函数定义符号变量和符号表达式使用syms函数定义符号变量和符号表达式符号方程的生成定义符号数字和符号常数sym(‘Num’)sc=sym(‘Num’)备注：1、sym(‘Num’)创建一个符号数字Num，Num代表一个具体的数字，2、sc=sym(‘Num’)创建一个符号常数sc,该常数值准确等于Num【例1】sqrt(2)ans=1.4142a=sqrt(sym(2))a=2^(1/2)sym(2)/sym(5)ans=2/52/5+1/3ans=0.7333(1)使用sym函数定义符号变量和符号表达式sym(Num)%将双精度数字转换为符号数Sym(‘Num’)%将字符串数字转换为准确符号数【例2】a=sym('1/2+sqrt(2)')a=1/2+sqrt(2)b=sym(1/2+sqrt(2))b=8620851486211021*2^(-52)定义符号表达式sym(‘expression’)%定义符号表达式y=sym(‘expression’)%把符号表达式赋给变量y【例3】a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');x=sym('x');f=a*x^2+b*x+cf=a*x^2+b*x+c另一种表达方式：f=sym('a*x^2+b*x+c')f=a*x^2+b*x+c(2)使用syms函数定义符号变量和符号表达式【例4】symsabcxf=sym('a*x^2+b*x+c')f=a*x^2+b*x+cg=f^2+4*f-2g=(a*x^2+b*x+c)^2+4*a*x^2+4*b*x+4*c-2)syms和sym有什么区别？(3)使用sym函数生成符号方程【例5】equation1=sym('sin(x)+cos(x)=1')equation1=sin(x)+cos(x)=1表1sym和syms指令可作的限定性假设指令格式含义备注x=sym(‘x’)定义“复数”符号变量x复数域是默认设置的数域x=sym(‘x’,’real)定义“实数”符号变量xx=sym(‘x’,’positive’)定义“正数”符号变量xsymsxyz定义“复数”符号变量x,y,z复数域是默认设置的数域symsxyzreal定义“实数”符号变量x,y,zsymsxyzpositive定义“正数”符号变量x,y,z2.符号变量的基本操作寻找符号变量任意精确度的符号表达式数值型变量与符号型变量的转换形式(1)寻找符号变量findsym(expression)%找出符号表达式中的所有符号变量findsym(expression,n)%在符号表达式中找出n个与x接近的变量【例6】symsaalphabx1yfindsym(alpha+a+b)ans=a,alpha,bfindsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,2)ans=x1,ysymvar(expression)%找出符号表达式中的所有符号变量symvar(expression,n)%在符号表达式中认定n个自由（符号）变量【例7】symsaalphabx1ysymvar(alpha+a+b)ans=[a,alpha,b]symvar(cos(alpha)*b*x1+14*y,10)ans=[y,b,a,alpha]symvar(cos(alpha)*b*x1+14*y)ans=[a,alpha,b,y]findsym与symvar函数的区别是什么？注意：检出符号变量的排列规则！（2）任意精确度的符号表达式控制符号数字或表达式数值精度的指令包括：digits显示当前环境下十进制符号数字的有效位数digits(n)把十进制符号数字有效位数设定为nxs=vpa(x)据表达式x得到digits指定精度下的符号数字xsXs=vpa(x,n)据表达式x得到n为有效数字的符号数字xs注意：1、vpa(x)的运算精度受它之前运行的digits(n)控制；2、Matlab对digits指令的默认精度设置时32位。3、vpa(x,n)仅在运行的当时起作用；digits(D)%设置数值的精度为D位D=digits%返回当前设定数值精度【例8】digitsDigits=32digits(50)%命令窗口没有任何反应%但是系统内部已将数值精度设定为50位d=digitsd=50【例9】使用vpa函数进行可控精度运算。r=vpa(pi)r=3.1415926535897932384626433832795vpa(hilb(2),10)ans=[1.0,0.5][0.5,0.3333333333]vpa(hilb(2),10)ans=[1.,.5000000000][.5000000000,.3333333333]Matlab2009a运行结果Matlab6.5运行结果(3)数值型变量与符号型变量的转换形式【例10】t=0.1;sym(t,'r')%有理数形式ans=1/10sym(t,'e')ans=1/10+eps/40%十进制近似表示有效数字位数sym(t,‘d’)ans=0.1000000000000000055511151231257827021181583404541%Matlab2009a显示结果sym(t,‘f’)%浮点数形式ans=(2^-4+2702159776422298*2^-56)%Matlab6.5显示结果sym(t,'f')%浮点数形式ans='1.999999999999a'*2^(-4)3.符号表达式(符号函数)的操作符号表达式的四则运算合并符号表达式的同类项符号多项式的因式分解符号表达式的简化subs函数用于替换求值反函数的运算复合函数的运算(1)符号表达式的四则运算【例11】symsxyabfun1=sin(x)+cos(y);fun2=a+b;fun1+fun2ans=sin(x)+cos(y)+a+bfun1*fun2ans=(sin(x)+cos(y))*(a+b)(2)合并符号表达式的同类项collect(S,v)%将符号矩阵S中所有同类型合并，并以v为符号变量输出collect(S)%使用findsym函数规定的默认变量代替上式中的v【例12】symsxycollect(x^2*y+y*x-x^2-2*x)ans=(y-1)*x^2+(y-2)*xcollect(x^2*y+y*x-x^2-2*x,x)ans=(y-1)*x^2+(y-2)*xcollect(x^2*y+y*x-x^2-2*x,y)ans=y*(x^2+x)-2*x-x^2(3)符号多项式的因式分解(horner)【例13】symsxfun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40fun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40horner(fun1)ans=40+(-32+(2+2*x)*x)*xfun2=x^3-6*x^2+11*x-6fun2=x^3-6*x^2+11*x-6horner(fun2)ans=-6+(11+(-6+x)*x)*x(4)符号表达式的简化(simplify)【例14】symsxfun1=(1/x+7/x^2+12/x+8)^(1/3)fun1=(13/x+7/x^2+8)^(1/3)sfy1=simplify(fun1)sfy1=((13*x+7+8*x^2)/x^2)^(1/3)sfy2=simplify(sfy1)sfy2=((13*x+7+8*x^2)/x^2)^(1/3)(5)subs函数用于替换求值【例15】symsxyf=x^2*y+5*x*sqrt(y)f=x^2*y+5*x*y^(1/2)subs(f,x,3)ans=9*y+15*y^(1/2)subs(f,y,3)ans=3*x^2+5*x*3^(1/2)(6)反函数的运算(finverse)【例16】symsxyf=x^2+yf=x^2+yfinverse(f,y)ans=-x^2+yg=x^2g=x^2finverse(g)Warning:finverse(x^2)isnotunique.Insym.finverseat46ans=x^(1/2)(7)复合函数的运算(compose)【例17】symsxyztuf=1/(1+x^2)g=sin(y)h=x^tp=exp(-y/u)compose(f,g)ans=1/(1+sin(y)^2)compose(f,g,t)ans=1/(1+sin(t)^2)4.符号矩阵的生成和运算符号矩阵的生成使用sym函数直接生成符号矩阵用生成子矩阵的方法生成符号矩阵由数值矩阵转换为符号矩阵符号矩阵及符号数组的运算符号矩阵和数组的四则运算矩阵和数组的逆运算矩阵和数组的幂运算符号矩阵的秩符号矩阵的逆和行列式运算（1）sym函数直接生成符号矩阵【例18】a1=sym('[1/32/35/7;9/1111/1313/17;17/1919/2323/29]')a1=[1/3,2/3,5/7][9/11,11/13,13/17][17/19,19/23,23/29]'[1/32/35/7;9/1111/1313/17;17/1919/2323/29]'ans=[1/32/35/7;9/1111/1313/17;17/1919/2323/29]注意：矩阵元素之间可以使用空格或逗号分隔，各符号表达式的长度可以不同，矩阵元素可以是任意的符号函数。（2）用生成子矩阵的方法生成符号矩阵【例19】a=['[100,cos(x)]';'[1/s,x]']a=[100,cos(x)][1/s,x]注意：a.不必调用sym函数，但同一列的元素长度要相同；b.当输入字符串长度不一致时，可在较短字符串前边或后边加空格补充。（3）由数值矩阵转换为符号矩阵【例20】矩阵元素为整数情况下，数值矩阵转换为符号矩阵M=[30111;6159;98254;3245620]M=301116159982543245620S=sym(M)S=[30,1,1,1][6,1,5,9][9,8,25,4][32,45,62,0]【例21】矩阵元素为分数或无理数时，数值矩阵转换为符号矩阵M1=[0.30.331/3;3.143.142pi;log(2)log(3)log(7);sin(1)cos(1)atan(1)]M1=0.30000.33000.33333.14003.14203.14160.69311.09861.94590.84150.54030.7854S1=sym(M1)S1=[3/10,33/100,1/3][157/50,1571/500,pi][62433