ch3力学基本定律与守恒律习题及答案

1第3章力学基本定律与守恒律习题及答案1．作用在质量为10kg的物体上的力为itF)210(N，式中t的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化．(2)为了使这力的冲量为200N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度j6m·s-1的物体,回答这两个问题．解:(1)若物体原来静止，则itittFpt10401smkg56d)210(d,沿x轴正向，ipIimpv111111smkg56sm6.5若物体原来具有61sm初速，则tttFvmtmFvmpvmp000000d)d(,于是tptFppp0102d,同理，12vv,12II这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即tttttI0210d)210(亦即0200102tt解得s10t，(s20t舍去)2．一颗子弹由枪口射出时速率为10smv，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F=(bta)N(ba,为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．解:(1)由题意，子弹到枪口时，有0)(btaF,得bat(2)子弹所受的冲量tbtattbtaI0221d)(2将bat代入，得baI22(3)由动量定理可求得子弹的质量0202bvavIm3．如图所示，一质量为m的球，在质量为M半径为R的1/4圆弧形滑槽中从静止滑下。圆弧形滑槽放在光滑水平面上，初始时刻也处于静止状态。求当小球m滑到槽底脱离槽时的速度。解:m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有222121MVmvmgR又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有0MVmv联立以上两式，得MmMgRv24．如图所示，质量为M＝1.5kg的物体，用一根长为l＝1.25m的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m＝10g的子弹以v0＝500m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v＝30m/s，设穿透时间极短．求：(1)子弹刚穿出时绳中张力的大小；(2)子弹在穿透过程中所受的冲量．解（1）由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。此过程系统在水平方向满足动量守恒。0mvMVmv30()1010(50030)3.13/1.5mvvVmsM对M进行受力分析有223.131.59.81.526.51.25VTMgMNl(2)子弹在穿透过程中所受的冲量：301010(30500)4.7IpmvmvNs上式中负号表示冲量方向与0v方向相反。5．质量为1kg的物体，它与水平桌面间的摩擦系数=0.1．现对物体施以F=10t+10(SI)的力，（t表示时刻），力的方向保持一定，如图所示．如t=0时物体静止，则t=3s时它的速度大小v为多少?(取重力加速度210gms)解:对物体在水平方向应用动量定理30°FlMm0vv33000(cos30(sin30)0FmgFdtmv由于1mkg，F=10t+10，故有3000[(1010)cos30((1010)sin30]vtmgtdt33300000[(1010)cos30(1010)sin303(59103)0.111030.10.5(59103)264.9533.7558.2/tdtmgdttdtms6．静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平速度v（相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻力）．解:该过程满足水平方向的动量守恒：对第一条船：10mvMV1mVvM上式中负号表示对第一条船运动方向与v方向相反；对第二条船：2()mvmMV2mvVmM7．一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为acostbsintrij(SI)式中a、b、是正值常量，且a＞b．(1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能；(2)求质点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力xF和yF分别作的功．解:(1)质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能由题意：acostbsintxyrijijdabvasintbcostyxdtbarijij222222222abv(x,y)yxba所以2222222222110022AabE(a,)m(a)mbba42222222222110022AabE(,b)m(b)maba(2)质点所受的合外力F22dvaacostbsintdtij2222xyFmamacostmbsintmxmyFFijijij当质点从A点运动到B点的过程中F的分力xF分别作的功0022212xaaFdxmxdxma当质点从A点运动到B点的过程中F的分力yF分别作的功2220012bbyFdymydymb8．一人从10m深的井中提水．起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为1kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．解:设桶的质量为0m，起始时桶中装满水的质量为0M，以起始点为坐标原点，坐标轴方向竖直向上，则水桶匀速地从井中提到井口过程的任意位置，人的拉力为0()(0.2)FxMxgmg所以1010000()[(0.2)]AFxdxMxgmgdx2010()(100)0.29802MmggJ9一个质点在几个力同时作用下位移为456SIrijk，其中一个力为345SIFijk，求此力在该位移过程中所作的功。解:此为恒力做功，故有34545612203038A()()JFrijkijk10设76NFij合．(1)当一质点从原点运动到3416mrijk时，求F所作的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．解:(1)7634160212445A()[()]Jijijk(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率：45750.6PPWt(3)由动能定理，质点动能的变化为：45kEAJ511．如图所示，一根劲度系数为1k的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为2k的轻弹簧B，B的下端一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．解:弹簧BA、及重物C受力如题5图所示平衡时，有MgFFBA又11xkFA22xkFB所以静止时两弹簧伸长量之比为1221kkxx弹性势能之比为12222211121212kkxkxkEEpp12．某弹簧不遵守胡克定律.设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为F＝52.8x＋38.4x2（SI）求：(1)将弹簧从伸长x1＝0.50m拉伸到伸长x2＝1.00m时，外力所需做的功．(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50m时，物体的速率．(3)此弹簧的弹力是保守力吗？解:（1）112230.50.538.4(52.838.4)(26.4)313AxxdxxxJ(2)由动能定理0.52211(52.838.4)()02Axxdxmv所以22315.34/2.17Avmsm(3)此弹簧的弹力做功与路径无关，故是保守力。13．如图所示，质量m为0.1kg的木块，在一水平面上和一个劲度系数k为20N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x=0.4m．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数k为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v为多少？解:在该过程中，物体受力的方向与位移的方向相反，故力做负功。由动能定理:0.4201(0.25)02kxmgdxmvkm62211200.40.250.19.80.40.122v2200.40.50.19.80.433.965.83/0.1vms14．(1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84×108m，月球质量7.35×1022kg，月球半径1.74×106m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?解:(1)设在距月球中心为r处地引月引FF，由万有引力定律，有22rRmMGrmMG地月经整理，得RMMMr月地月=2224221035.71098.51035.781048.3m1032.386则P点处至月球表面的距离为m1066.310)74.132.38(76月rrh(2)质量为kg1的物体在P点的引力势能为rRMGrMGEP地月72411722111083.34.381098.51067.61083.31035.71067.6J1028.1615．如图所示，在与水平面成角的光滑斜面上放一质量为m的物体，此物体系于一劲度系数为k的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定．设物体最初静止于平衡点．今使物体获得一沿斜面向下的速度，设起始动能为EK0，试求物体在弹簧的伸长达到x时的动能.解:物体处于平衡点时，弹簧的静伸长为：0sinmgxk该过程满足机械能守恒，故有mk72201sin1()sin22kkmgEKEkxmgxk由此得到：2201(sin)sin22kkmgEEmgxkxk16．一物体与斜面间的摩擦系数=0.20，斜面固定，倾角=45°．现给予物体以初速率v0=10m/s，使它沿斜面向上滑，如图所示．求：(1)物体能够上升的最大高度h；(2)该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v．解:（1）设物体能够上升的最大高度h，相应的斜面长度为S。由功能原理：201cos2mgsmghmvsinhs由上两式可得201004.252(1)29.8(10.2)vhmgctg（2）该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v可再由功能原理获得：21cos2mgsmvmgh2(1)29.84.250.866.648.16/vghctgms17．如图所示，在光滑水平面上，放一倾角为的楔块，质量为M，在楔块的光滑斜面上A处放一质量为m的小物块，开始时小物块与楔块均静止．当小物块沿斜面运动，在竖直方向下降h时，试证楔块对地的速度大小为)sin)((cos2222mMMmghmv解:设小物块相对楔块的速度为v，对地的速度为v，楔块对地的速度V为。取水平向右为x正向，竖直向上为y正向。则cosxvvV（1）sinyvv（2）由于该过程系统满足水平方向动量守恒和机械能守恒条件，故有(cos)0MVmvV（3）22211[(cos)(sin)]22mghMVmvVv（4）（4）可化为：22211[2cos]22