ch9-习题课

三、作业第九章、曲线积分与曲面积分一、主要内容二、典型例题习题课第十章、曲线积分与曲面积分习题课（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步一、主要内容第十章、曲线积分与曲面积分习题课曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分计算计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分第十章、曲线积分与曲面积分习题课曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义01(,)lim(,)niiiLifxydsfsLdyyxQdxyxP),(),(01lim[(,)(,)]niiiiiiiPxQy联系(coscos)LLPdxQdyPQds计算22[,]fdt三代一定()二代一定(与方向有关)LPdxQdy[(,)(,)]PQdt(,)Lfxyds第十章、曲线积分与曲面积分习题课与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.LQdyPdxD与路径无关内在)1(CDCQdyPdx闭曲线,0)2(xQyPD,)4(内在等价命题(3)在D内存在u(x,y)使duPdxQdy第十章、曲线积分与曲面积分习题课曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义01(,,)lim(,,)niiiiifxyzdSfSxyiniiiiSRdxdyzyxR)(),,(lim),,(10联系RdxdyQdzdxPdydz计算一代,二换,三投(与侧无关)一代,二投,三定向(与侧有关)dSRQP)coscoscos((,,)fxyzdSxyDyxdxdyzzyxzyxf221)],(,,[dxdyzyxR),,(xyDdxdyyxzyxR)],(,,[第十章、曲线积分与曲面积分习题课定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Stokes公式Gauss公式（二）各种积分之间的联系第十章、曲线积分与曲面积分习题课点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii.)()(,],[1badxxfdMfbaR时上区间当.),()(,2DdyxfdMfDR时上区域当定积分二重积分积分概念的联系第十章、曲线积分与曲面积分习题课dVzyxfdMfR),,()(,3时上区域当.),,()(,3dszyxfdMfR时上空间曲线当.),,()(,3SdSzyxfdMfSR时上曲面当曲面积分曲线积分三重积分.),()(,2LdsyxfdMfLR时上平面曲线当曲线积分第十章、曲线积分与曲面积分习题课)(,]),([),()()(21面元素ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)(,),,(),,()()(),(),(2121体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxzbaLdsdxyxyxfdsyxf))((,1)](,[),(2曲线元素baLdxdxxyxfdxyxf))((,)](,[),(投影线元素计算上的联系第十章、曲线积分与曲面积分习题课22(,,)[,,(,)]1xyxyDfxyzdSfxyzxyzzdxdy(,,)[,,(,)]xyDRxyzdxdyfxyzxydxdy其中PdydzQdzdxRdxdy(coscos)LLPdxQdyPQds))((曲面元素dS))((投影面元素dxdy(coscoscos)PQRdS第十章、曲线积分与曲面积分习题课1.定积分与不定积分的联系))()(()()()(xfxFaFbFdxxfba牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系)()(的正向沿LQdyPdxdxdyyPxQLD格林公式理论上的联系第十章、曲线积分与曲面积分习题课3.三重积分与曲面积分的联系RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式第十章、曲线积分与曲面积分习题课(rot)LDAdsAkdxdy()divLDAndsAdxdy(rot)AdSAndSRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx()divAndsAdvdvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(DLdxdyyPxQQdyPdx)(DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推广推广为平面向量场)(MA为空间向量场)(MAGreen公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系第十章、曲线积分与曲面积分习题课梯度graduuuuijkxyz通量旋度环流量divPQRAxyzPdydzQdzdxRdxdyrot()()()RQPRQPAijkyzzxxyPdxQdyRdz散度（三）场论初步第十章、曲线积分与曲面积分习题课思路:LQdyPdxIxQyPxQyP0LQdyPdxI),(),(00yxyxQdyPdxI闭合非闭闭合DdxdyyPxQI)(非闭补充曲线或用公式二、典型例题例1计算224(2)(),Ixxydxxydy其中L为由点)0,0(O到点)1,1(A的曲线sin.2yx第十章、曲线积分与曲面积分习题课解xxyxyyP2)2(2知xyxxxQ2)(42,xQyP即104102)1(dyydxx故原式.1523xyo11AdyyxdxxyxI)()2(422由第十章、曲线积分与曲面积分习题课解myemyyeyyPxxcos)sin(yemyexxQxxcos)cos(xQyP即(如下图)例2计算(sin)(cos),xxLIeymydxeymdy其中L为由点)0,(a到点)0,0(的上半圆周22,0.xyaxy第十章、曲线积分与曲面积分习题课Ddxdym2,8ma,0208ma2.8maAMOAAOAOAOLIAMOAAOIxyo)0,(aAMLcos,xPeymycosxQeyx(sin)(cos)xxOAeymydxeymdy00().0axdxemAMOADQPdxdyxy第十章、曲线积分与曲面积分习题课xyD曲面面积的计算法dSSxyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL),(),(dxyyxfba21),(zxOyab),(yxfzsABLxyOz),(yxfz第十章、曲线积分与曲面积分习题课曲顶柱体的表面积22(1)1DxyfSfd如图曲顶柱体，xyzOzfxy(,)DL(,)Lfxyds第十章、曲线积分与曲面积分习题课解由对称性8LSzds,1:3232yxL2281Lxyds例3求柱面22331xy在球面2221xyz内的侧面积.参数方程为33cos,0.2sinxttyt第十章、曲线积分与曲面积分习题课22()()3sincos,ttxydtttdt2281LSxyds2220243sincossincosttttdt2220243sincosttdt33.233:cos,sin(0)2Lxtyttds662081cossin3sincosttttdt第十章、曲线积分与曲面积分习题课xyoz111解利用两类曲面积分之间的关系111cos,cos,cos.333例４计算[(,,)][2(,,)]Ifxyzxdydzfxyzydzdx[(,,)],fxyzzdxdy其中(,,)fxyz为连续函数，为平面1xyz在第四卦限部分的上侧。的法向量为1,1,1,第十章、曲线积分与曲面积分习题课1(,,)3Ifxyzx1()3xydSz3113xyDdxdy.21112(,,)(,,)33fxyzyfxyzzdSxyoz1111xyz第十章、曲线积分与曲面积分习题课向量点积法:(,),,,1,xyzfxyff设法向量为IPdydzQdzdxRdxdy,1,,,xyffPQRdxdyndSA,,,,PQRdydzdzdxdxdyxoy将在面投影,,,,1.xyxyDPQRffdxdy第十章、曲线积分与曲面积分习题课解22,xxfxyD利用向量点积法例5计算2,Iydydzxdzdxzdxdy其中为锥面22zxy被平面1,2zz所截部分的外侧。22222,,,,1xyIyxzdxdyxyxy22,yyfxy第十章、曲线积分与曲面积分习题课22201dd.215dxdyz2xyDdxdyyx)(22xyD22:14xyDxy第十章、曲线积分与曲面积分习题课解yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2一周所成的曲面,例6计算曲面积分是由曲线)31(01yxyz绕y其中轴旋转y轴正向的夹角恒它的法向量与.2大于(如下图)221yzx1(13)0zyyx曲线绕y轴旋转面方程为第十章、曲线积分与曲面积分习题课Oxyz123221yzxdxdydzyyy)4418(dv12(81)2(1)4Iyxdydzydzdxyzdxdy欲求则11I1PQRdxdydzxyzxzDxzdydxdz3122第十章、曲线积分与曲面积分习题课2302(2)d,2122(13)dzdx32,34.2223001dddyOxyz12312(81)2(1)4yxdydzydzdxyzdxdy2(32)I故13y第十章、曲线积分与曲面积分习题课一、选择题:1、设L为230,0yxx,则Lds4的值为().(A)04x，(B),6(C)06x.2、设L为直线0yy上从点),0(0yA到点),3(0yB的有向直线段,则Ldy2=().(A)6;(B)06y;(C)0.3、若L是上半椭圆,sin,costbytax取顺时针方向,则Lxdyydx的值为().(A)0;(B)ab2;(C)ab.测验题第十章、曲线积分与曲面积分习题课4、设),(,),(yxQyxP在单连通区域D内有一阶连续偏导数,则在D内与LQdyPdx路径无关的条件DyxyPxQ),(,是().(A)充分条件;(