Chapter054-6函数极值单调性凹凸性作图

Chap5―4函数的单调性和极值定理1设fC[a,b]D(a,b),则f(x)在[a,b]上单调增加x(a,b)有f'(x)0.f'(x)0是f(x)严格单调增加的充分不必要条件!如f(x)=x3在(–,+)上严格单调增加,但f'(0)=0.问题f(x)严格单调的充要条件是什么?一、函数的单调性试一试单调减少的充要条件！定理2设fC[a,b]D(a,b),则f(x)在[a,b]上严格单调增加x(a,b),f(x)0,且在(a,b)任意子区间上,f'(x)不恒为0.若f(x)0,且仅有限个点处f(x)=0,则f(x)严格单调增加.函数单调区间求法1)求函数的驻点和不可导点;2)用上述点把函数定义域分成若干子区间;3)在子区间上讨论导函数的符号,确定函数单调性.例1求函数f(x)=x2/3(x–5)的单调区间.例2证明Jordan不等式.2π,0,1sinπ2xxx例3已知当x0时有ln(1)xxln(1),(0).1xxxx，证明不等式例4设eabe2,2224lnln().ebaba证明不等式二、函数的极值和最值1.函数极值判别法极值也可能在不可导点取得，因此极值点一定包含在驻点和不可导点中.Fermat引理可导的极值点一定是驻点！定理(第I判别法)设fCU(x0),且0D()fUx1)若在x0左侧,f'(x)0,在x0右侧,f'(x)0,则f(x0)为极小值;2)若在x0左侧,f'(x)0,在x0右侧,f'(x)0,则f(x0)为极大值;3)若在x0两侧f'(x)不变号,则f(x0)不是极值.问题若f在x0取严格极大值，是否必0,使f在(x0,x0)递增，在(x0,x0+)递减？反例考察函数2122sin,0()2,0xxfxxx在x0=0的情形！定理(第II判别法)设f(x)在x0二阶可导,且f'(x0)=0,则f(x0)0时,f(x0)为极大值;f(x0)0时,f(x0)为极小值.注意前提条件f(x0)=0,即x0是驻点！当f(x0)=0时,判别法失效！例5求函数f(x)=xln2x的极值.x(0,1/e2)1/e2(1/e2,1)1(1,+)f'(x)+0–0+f(x)单调增4/e2单调减0单调增例6求函数f(x)=x2/3(x–5)的极值.x(–,0)0(0,2)2(2,+)f'(x)+/–0+f(x)单调增0单调减单调增343例7求的极值.()ee2cosxxfxx定理(第III判别法)设f(x)在x0处n阶可导,且f(x0)=f(x0)=…=f(n1)(x0)=0,f(n)(x0)0,则(1)当n为奇数时，f(x0)非极值；(2)当n为偶数时，f(x0)是极值,且为()0()0,()0,,()0.nnfxfx极大值极小值2.函数最值求法最值点和极值点关系:区间内部的最值点一定是极值点.因此最值点一定在极值点和区间端点中,从而一定在驻点,不可导点和区间端点中！原则若fC[a,b]，则只需求出f在上述三类点处的函数值,再比较它们的大小就可得到f的最大值和最小值！若可导函数f有唯一驻点x0,且f(x0)为严格极大值,则f(x0)为最大值.例8求f(x)=x2ex在[1,3]上的最值.例9证明不等式：112xx例10作一个有盖的圆柱形容器,若体积V为定值,问底圆半径R与高H成何比例时,容器的表面积最小(即用料最省)？若已知最值点存在于内部,则唯一驻点x0为所求最值点.Chap5―5凸函数一、函数的凸性定义设函数f在区间I上定义,若x1,x2I及(0,1)有1212((1))()(1)()fxxfxfx则称f(x)是I上的(下)凸函数.试一试“上凸、严格凸、严格上凸函数”的定义！几何意义xyx1x2x1+(1)x2f(x1+(1)x2)f(x1)f(x2)f(x1)+(1)f(x2)Oy=f(x)曲线(函数图形)的凸性依函数的凸性相应定义！二、等价定义定理设函数f在区间I上定义,则下面3条等价：(i)f为I上的凸函数；(ii)x1x2x3I：32212132()()()();fxfxfxfxxxxx(iii)若fD(I),则x1,x2I：21121()()()()fxfxfxxxxyx1x3x2f(x)xyx2x1f(x)x2注事实上，总有(i)(ii).定理(第I充要条件)设fC[a,b]D(a,b),则f(x)是[a,b]上的凸函数f(x)在(a,b)内递增.定理(第II充要条件)设fC[a,b]，且在(a,b)内二阶可导,则f(x)是[a,b]上的凸函数f(x)0.三、凸性判别法和拐点问题严格凸函数的第I，II充要条件是什么？定义设fCU(x0),且在x0两侧有不同的严格凸性,则称x0为函数f(x)的拐点,相应点(x0,f(x0))称为曲线f(x)的拐点.命题函数拐点一定在二阶导数为0和二阶导数不存在的点中.例1讨论函数f(x)=|x|ex的凸性和拐点.例2讨论函数f(x)=x2/3(x–5)的凸性和拐点.x(–,–1)–1(–1,0)0(0,+)f(x)–0+/+f(x)上凸拐点下凸0下凸例3(Young不等式)设a,b,p,q0,111,pq证明(历年试题).pqababpq四、凸函数的性质定理1设f(x)是区间I上的凸函数，则x0I，斜率函数00()()()fxfxkxxx在I\{x0}递增.定理2设f(x)是区间I上的凸函数，则x0I，则f(x0)和f+(x0)存在，且f(x0)f+(x0).定理3设f(x)是[a,b]上的凸函数，则fC(a,b).问题f在a,b处必定单侧连续吗？定理4设f(x)是区间I上的凸函数，则x1x2I，有211221()()()()fxfxfxfxxx推论设f(x)是(a,b)内的凸函数,则f(x)和f+(x)在(a,b)内递增.五、Jensen不等式定理设f是区间I上的凸函数,则xkI,k(0,1),(k=1,2,…,n)若，则有11nkk11()nnkkkkkkfxfx问题去掉“递增”条件，结论还必定成立吗？凸函数概括一个不等式，两个充要条件，三个等价定义，四条性质！命题若g为凸函数，f为递增凸函数，则为凸函数！fg例4设f(x)0,且lnf(x)为区间I上的凸函数.证明f也是I上的凸函数.Chap5―6函数作图一阶导数：函数的单调性和极值(曲线的升、降和局部最高、低点)；一、曲线的渐近线定义若连续曲线C上的点P沿着曲线无限远离原点O时,点P与某定直线L的距离趋向于零,即.0),(distlim||LPOP则称直线L为曲线C的渐近线.xyOCLP二阶导数：函数的凸性和拐点.A、垂直渐近线),)(lim,)(lim()(lim000xfxfxfxxxxxx或若.)(0的铅直渐近线为曲线则xfyxx若x=x0为f(x)的无穷间断点,则直线x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线.Oxyx0P(x,f(x))LCdist(P,L)=|x–x0|0,22||()OPxfx结论|()|.fxB、水平渐近线结论OxyP(x,f(x))LCdist(P,L)=|f(x)–b|0,),)(lim,)(lim()(limbxfbxfbxfxxx或若.)(的水平渐近线为曲线则xfybyb22||()OPxfx().fxC、斜渐近线xyOCLP(x,f(x))定理直线L:y=ax+b(a0)为曲线y=f(x)的斜渐近线()lim()()0.xxfxaxb或问题如何求曲线的斜渐近线?lim(()),xbfxax()lim.xfxax例1求曲线的渐近线.1||)(xxxf例2求曲线的渐近线.xxxf1eln)(二、函数图形的描绘(步骤)1)求定义域Df,考察函数的特性(奇偶性、周期性),经过的特殊点(与坐标轴交点)等；2)求f(x)和f(x)；3)求f(x)=0和f(x)=0的根，和一阶、二阶不可导点；4)列表(上述点分割Df,考察f(x)和f(x)在子区间上的符号,确定函数的单调性、极值点、极值和凸性、拐点)；5)求曲线的渐近线(水平、铅直和斜)；6)作图(取合适坐标长度，建立坐标系,先画渐近线).例3全面讨论函数的性态,并描绘出其图形.23)1(xxy.)1(6,)2()1('432xxyxxxy已知x(–,2)2(2,0)(0,1)1(1,+)y+0+0+y0+y单增上凸极大值点27/4单减上凸单增上凸拐点单增下凸xy13–2–3–27/4y=x–3O