chapter05插值与逼近

插值与逼近第5章§5.1代数插值§5.2Hermite插值§5.5正交多项式§5.6函数的最佳平方逼近5.1代数插值插值问题的背景在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算,或者无表达式只有函数在给定点的函数值(或导数值)，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的近似函数(x)，来逼近函数f(x)。常用的函数逼近方法有：•插值法；•最小二乘法（或称均方逼近）•一致逼近等当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),y1=f(x1),…，yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数(x)f(x)，满足条件(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的(x)称为f(x)的插值函数。x0x1x2x3x4x(x)f(x)5.1.1一元函数插值定义设0(x),1(x),…,n(x)是[a,b]上的n+1个实值函数，而x0,x1,…,xm是[a,b]上的m+1个互异的实数(nm)，记Tmkkkkxxx)()()(10如果向量组n,,,,210线性无关，则称函数组{0(x),1(x),…,n(x)}在点集{x0,x1,…,xm}上线性无关.否则称之为线性相关的。例如：上线性无关。在点集函数组},,,{},,{4321112xxxx2012623-2-1-05432210，，事实上，而0-4122-461-3202设x0,x1,…,xn是n+1个互异的实数，而实值函数f(x)在包含x0,x1,…,xn的某个区间[a,b]上有定义，又函数组0(x),1(x),…,n(x)在点集{x0,x1,…,xn}上线性无关，插值问题就是构造插值函数)()()()(xcxcxcxnn1100使其满足：(xi)＝f(xi),i＝0,1,2,…,n(1.0)).(111100fcccnn即：其中，Tnxfxfxff)()()(10由于n,,,,210是线性无关的，故方程组(1.1)有唯一一组解{c0,c1,......,cn}。亦即满足插值条件(1.0)的插值函数是唯一的。插值多项式的定义设f(x)为[a，b]上的函数，在互异点x0,x1,...,xn处的函数值分别为f(x0),f(x1),…,f(xn),构造一个次数不超过n的多项式Pn(x)作为函数f(x)的近似表达式y=f(x)Pn(x),使Pn(xi)＝f(xi),i＝0,1,2,…,n则称Pn(x)为关于节点x0,x1,...,xn的n次插值多项式；称x0,x1,...,xn为插值节点；f(x)称为被插值函数称(xi,f(xi)),i=1,2,…,n为插值点(1.0)式称为插值条件。这类问题称为插值问题。需要解决的问题：1)满足插值条件(1.0)的插值多项式的存在唯一性;2)插值多项式的构造Lagrange插值法；Newton插值法；3)插值多项式的误差Rn(x)=f(x)-Pn(x)=?插值多项式的存在唯一性设插值多项式为nnnxaxaxaaxP2210)(nnxxxxxxx)(,,)(,)()(22101，此时，),,,(n10detnnnnnnnxxxxxxxxxxxx22222121102001111nijjixx0)(Vandermonde行列式而点x0,x1,...,xn互异0线性无关，故向量组n,,,10且唯一的。从而插值多项式是存在Lagrange插值1.线性插值给定两个点(x0，y0)，(x1，y1），x0≠x1，要求确定一个次数不超过一次的多项式111001yxLyxL)(,)(由点斜式方程知，)()(0010101xxxxyyyxL010101001xxxxyxxxxy)(01011010xxxxyxxxxyxaaxL101)(使其满足插值条件：010101101xxxxyxxxxyxL)(记1010xxxxxl)(0101xxxxxl)(则有)()()(xlyxlyxL11001这启示我们用一种新的构造办法。且满足条件：是两个一次多项式，并设)(),(xlxl101.0011101110000)()()()()()(xlxlxlxlxlxl，：；，：或时当时当jijixljiji,,)(,11。就是所求的插值多项式则)()()(xlyxlyxL11001这是因为：①L1(x)是一个次数不超过1次的多项式；②它满足插值条件111001yxLyxL)(,)()(01xL)()(011000xlyxly0110yy0y)(11xL)()(111100xlyxly1010yy1y称为插值基函数。而)(),(xlxl10这样构造插值多项式的方法称为Lagrange插值法，余下的事情就是要作出插值基函数l0(x)和l1(x)..)()()(0110000xlxlxl，是一次多项式，且因为)()(10xxAxl于是，，又由于100)(xl故，11000)()(xxAxl101xxA1010xxxxxl)(类似地，0101xxxxxl)(2抛物线插值给定3个互异插值点(xi,yi),i=0,1,2，要求确定一个次数不超过2次的多项式22102xaxaaxL)(使其满足插值条件：222112002yxLyxLyxL)(,)(,)(在3个节点上构造2次插值基函数l0(x),l1(x),l2(x),使满足li(xj)=δij，i,j=0,1,2。则插值多项式为)()()()(xlyxlyxlyxL2211002容易验证满足插值条件因为l0(x)为2次插值基函数,且l0(x1)=l0(x2)=0,可设01021,()()Axxxx1200102()()().()()xxxxlxxxxx02011210122021()()()()(),().()()()()xxxxxxxxlxlxxxxxxxxx　　l0(x)=A(x-x1)(x-x2)。由条件：l0(x0)=1，得同理可得3n次Lagrange插值多项式niyxLiin,...,0,)(求n次多项式使得nnnxaxaaxL10)(条件：无重合节点，即jixxji希望找到li(x)，i=0,…,n使得li(xj)=ij；然后令niiinyxlxL0)()(，则显然有Ln(xi)=yi。li(x)每个li有n个根x0…xi…xnnjjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(jijiiiixxCxl)(11)(njijjijixxxxxl0)()()(niiinyxlxL0)()(节点f插值多项式的余项线性插值误差设L1(x)为一次Lagrange插值函数,若f(x)在[a,b]上具有二阶导数，则x∈(a,b),至少存在一点∈(a,b),使得))((!)()()()(10112xxxxfxLxfxR证明因为L(xi)=f(xi),i=0,1,所以R1(x0)=R1(x1)=0,即x0,x1为R1(x)的两个根。因此可设R1(x)为R1(x)=k(x)(x-x0)(x-x1).固定任一x，作辅助函数))()(()()()(101xtxtxktLtft则(xi)=0,i=1,2,(x)=0,即(t)有3个零点x0,x1,x.假定x0xx1在[x0，x]和[x，x1]上应用罗尔定理，))()(()()()(101xtxtxktLtft使得和),(),(1201xxxx021)()(应用罗尔定理，对函数进一步地，在)(],[x21使得存在),,(),(1021xx0)(]))()[(()()()(101xtxtxktLtft!)()(20xktf!)()(2xktf!)()()(20xkf！故2)()(fxk))((!)()(1012xxxxfxR于是n次插值多项式的余项/*Remainder*/定理5.1设x0,x1,…,xn是互异的插值节点，Pn(x）是这些节点上关于函数f(x)的次数不超过n次的插值多项式。如果f(x)包含这n+1个插值节点的区间[a,b]上具有n+1阶导数，则),,(bax)()!()()()()()(xnfxPxfxRnnnn111使得),,(ba)())(()(nnxxxxxxx101其中，定理5.1的证明Rolle’sTheorem:若充分光滑，，则存在使得。)(x0)()(10xx),(10xx0)(推广：若0)()()(210xxx),(),,(211100xxxx使得0)()(10),(10使得0)(0)()(0nxx存在),(ba使得0)()(nRn(x)至少有个根n+1niinxxxKxR0)()()(任意固定xxi(i=0,…,n),考察niixtxKtRnt0)()()()((x)有n+2个不同的根x0…xnx),(,0)()1(baxxn!)1()()()1(nxKRxnn注意这里是对t求导!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxn!)1()()()1(nfxKxnniixnnxxnfxR0)1()(!)1()()(注：通常不能确定x,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。1)1()(nnMxfniinxxnM01||)!1(当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。0)()1(xfn0)(xRn注：特别地当时，。n),0,1,2,(kxf(x)k),,,()()(nkxxlxxfnikiik100,bxxxan10.,)(baCxfn111jjnjxxhmax次插值多项式，那么的为nxfxLn)()()(max)()()()(xfnhxLxfnbxann1114推论1设证明：],,[],,[1kkxxxbax应该属于某个子区间则任取))(()(1kkxxxxx令)()(12kkxxxx2)(x211412)()()(minkkkkxxxxx221141-41||hxxxxxxkkkk)())((从而注意到，,)(,,,hkxxhxxhxxkk1||3||2||021,)(,,,hknxxhxxhxxnkk||3||2||3212j110j1n41x-(xx-(xnnkjkkkjhnxxxxx!)))(())()(max)()()()(xfnhxLxfnbxann1114给定sin11°=0.190809,sin12°=0.207912,sin13°=0.224951,构造二次插值，并计算sin11°30′。例解x0=11,x1=12,x2=13,y0=0.190809,y1=0.207912,y2=0.224951，2(12)(13)(11)(13)()0.1908090.207912(1112)(111