chapter3-2.

§3.6离散傅里叶变换的性质设：1122()()()()DFTxnXkDFTxnXk，一、线性1212()()()()DFTaxnbxnaXkbXk说明如下：(1)12()()aXkbXkN：12()()xnxnN、：(2)如果与点数不等，那么两个序列经过线性组合，如何计算其DFT？1()xn2()xn将点数少的序列在后面补零直到与点数多的序列的点数一样多。二.序列的圆周移位•1.定义一个有限长序列的圆周移位定义为这里包括三层意思：先将进行周期延拓再进行移位最后取主值序列：()mNNxnxnmRn()xn()Nxnxn()Nxnmxnm()mNNxnxnmRn()xnn)(nx0N-1nNnxnx))(()(~0周期延拓nNnxnx2)2(~0左移2n)()2(nRnxNN0取主值N-1如果把排列一个在N等分的圆周上，序列的移位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:。()xn()xn()xn2．时域圆周移位定理设是长度为的有限长序列，若()xnN()()()mNNxnxnmRn那么()()()()()mkmmNNNXkDFTxnDFTxnmRnWXk证：10()()()()NnkmmNNNnXkDFTxnxnmRnW10()NnkNNnxnmW令，则有nmn(11)())(()NmknmmNmknNNnmkmNNNnmxXkxWnWnW1010()()(())NmkknmNNnNmkknNNnNmkNXk2()jmmNNkkWe3．频域圆周移位定理若则()()XkDFTxn()()()nlNNNIDFTXklRkWxn此特性即调制特性，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。由此可得出以下两个公式。21()cos()()()()2NNNnlDFTxnXklXklRkN21()sin()()()()2NNNnlDFTxnXklXklRkNj三、共轭对称性讨论有限长序列的DFT时，因为隐含有周期性，周期为序列长度，那么我们就不能采用上一章的定义来定义共轭对称分量与共轭反对称分量。为什么？N例如：()()()eoxnxnxn1()()()2exnxnxn1()()()2oxnxnxn因此对于有限长序列我们定义圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量。()epxn()opxn设为有限长序列，长度为。将其周期延拓：()xnN()()Nxnxn1.周期序列的共轭对称分量及共轭反对称分量：()xn()exn()oxn11()()()()()22eNNxnxnxnxnxNn11()()()()()22oNNxnxnxnxnxNn明显他们满足：()()eexnxn()()ooxnxn2.有限长序列的与的定义()xn()epxn()opxn1()()()()()()2epeNNNNxnxnRnxnxNnRn1()()()()()()2opoNNNNxnxnRnxnxNnRn由周期序列的共轭对称分量及共轭反对称分量可知：()exn()oxn()()()eoxnxnxn所以：即：()()()()()()NeoNxnxnRnxnxnRn()()()epopxnxnxn点数为的有限长序列可以分解成相同点数的两个分量，也即圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量的和。N()xn()opxn()epxn根据与、的关系，及、的定义，我们可以推出DFT的以下性质。()xn()epxn()opxn()epxn()opxn设则有：()()()emDFTxnDFTRxnjIxn()()()()()NNNNDFTxnXkRkXNkRk(1)证明：1100()()()(())NnkNnnNnkNNNxDFTxnxnWRkRknW(())()NNkXkR3.DFT的共轭对称特性*1()0()()()()NNNkNNnNnxRknWXNkRk(2)证明：()()()NNDFTxnRnXk10()()()()()NnkNNNNNNnDFTxnRnxnRnWRk100(1)()(()))(NnknkNNnnNNNNnnNxnWxWRkRnk10()()()()()NnkNNNNnxnWRkXkRkXk21jNnnNNNWe(3)证明：显然1()()()2Re()()epNNNDFTXkXNkxnkkRX1Re()()()2xnxnxn1Re()()()2DFTxnDFTxnDFTxn1()()()2NNXkXNkRk1()()()2()NNNepXkXNkRkXk这说明：复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称分量。(4)证明：∴1()()()2Im()()NNoNpDFTjxnXkXNkkRXk1Im()()()2jxnxnxn1Im()()()2DFTjxnDFTxnDFTxn1()()()21()()()2NNNNNXkXNkRkXkXNkRk()opXk这说明：复序列虚部乘以的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称分量。j由性质(3)可证得：圆周共轭对称序列满足证明：()()()epepNNXkXNkRk1()()()()2epNNNXkXkXNkRk1()()()2NNNXNXRkNkNk()()epNNkXNRk含义：的模偶对称、辐角奇对称（或实部偶对称，虚部奇对称）。即：()epXk()()()epepNNxkxNkRkarg()arg[()()]epepNNXkXNkRk也就是说，把看成分布在等分的圆上，在的左半圆上与右半圆上，序列是共轭对称的（实部偶对称，虚部奇对称，模偶对称，辐角奇对称）()epXkN0k判断一个分布在的点实序列的偶奇对称的简单方法：将处补上与处相同的序列值，如果此新的序列对而言是偶对称的，那么原序列一定是偶对称的，否则就不是偶对称的。以9点序列为例：01nNNnN0n2nN()xn从图中可看出是偶对称的（关于对称）2nN由性质(4)式证明：圆周共轭反对称序列满足()()()opopNNXkXNkRk含义是：的实部奇对称，虚部偶对称。()opXkRe[()]Re[()()]opopNNXkXNkRkIm[()]Im[()()]opopNNXkXNkRk(5)若是实序列，则只有圆周共轭对称分量，(6)若是纯虚序列，则只有圆周共轭反对称分量，(7)(8)()()()NNXkXNkRk()xn()Xk()()()NNXkXNkRk[()]Re()epDFTxnXk[()]Im()opDFTxnjXk()xn()Xk[或][或]偶对称偶对称奇对称奇对称实数实部偶对称，虚部奇对称虚数实部奇对称，虚部偶对称实数偶对称实数偶对称实数奇对称虚数奇对称虚数偶对称虚数偶对称虚数奇对称实数奇对称()xn()Xk()xn()Xk综合以上可得：（序列及其DFT的奇、偶、虚、实关系）注意：这里对有限长序列的奇偶是把序列排在单位圆上，对n＝0或k＝0为中心的奇偶对称例3.6.1利用共轭对称性，可以用一次DFT运算来计算两个实数序列的DFT，这样可减少工作量。解：、：点实序列1()xn2()xnN11()()DFTxnXk22()()DFTxnXk利用两个序列构成一个复序列，则12()()()wnxnjxn12()()()()DFTwnWkDFTxnjxn1212()()()()DFTxnjDFTxnXkjXk而且∴1()Re()xnwn1()Re()()epXkDFTwnWk1()()()2NNNWkWNkRk同理2()Im()xnwn21()Im()()opXkDFTwnWkj1()()()2NNNWkWNkRkj利用一次DFT求出后，再按以上公式可求得、1()Xk2()Xk()Wk四、DFT形式下的帕塞瓦定理如果令，则上式变为：即：()()ynxn11**001()()()()NNnnxnxnXkXkN1122001()()NNnnxnXkN11**001()()()()NNnnxnynXkYkN五、圆周卷积和1．时域圆周卷积定理设、都是点有限长序列，，1()xn2()xnN01nN若则11()()DFTxnXk22()()DFTxnXk12()()()YkXkXk1120()()()()()NNNmynIDFTYkxmxnmRn1210()()()NNNmxmxnmRn证明：利用周期卷积和的公式，先将周期延拓，即()Yk12()()()YkXkXk按照DFS的周期卷积和公式由于为主值区间，故11122001()()((()))NNNmNmynxmxnmxmxnm01mN11()()Nxmxm∴1120()()()()()()NNmNNynynRnxmxnmRn将式经简单换元，可得到()yn1210()()()()NNmNynxmxRnmn这一运算称为圆周卷积和1()()ynxn2()xn为什么称为圆周卷积和？N-10n)(1nxN-10n)(2nx我们以为例，看一下时域圆周卷积和的图形运算过程。7N)(0)(~22mRmxmxNN0m)(12mRmxNN0m)(22mRmxNN0m)(32mRmxNN0m61277061277061277012(0)[()((0))]()111110000001012(1)[()((1))]()111111000000013(2)[()((2))]()111111010000003(3)[()(mmmyxmxmRmyxmxmRmyxmxmRmyxmx6770(3))]()101111010100022(4)1(5)0(6)1mmRmyyy0233211N-1nN)(2nx)()(1nxny2．频域圆周卷积定理若则12()()()ynxnxn11201()()()(())()NNNlYkDFTynXlXklRkN12101()(())()NNNlXlXklRkN六、圆周相关（