Chapter3_2_牛顿法

数值分析非线性方程的牛顿法(NewtonMethodofNonlinearEquations)邹秀芬教授数学与统计学院内容提纲（Outline)牛顿法及其几何意义收敛性及其收敛速度计算实例及其程序演示取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:20000()()()()()()2!ffxfxfxxxxx0000(*)()()(*)fxfxfxxx000()*()fxxxfx1()()kkkkfxxxfx重复上述过程0100()()fxxxfx作为第一次近似值一、牛顿法及其几何意义Newton迭代公式基本思路：将非线性方程f(x)=0线性化牛顿法的几何意义xyx*x00100()()fxxxfxx1x2000:()()()Tangentlineyfxfxxx1211()()fxxxfx牛顿法也称为切线法（局部收敛性定理）设f(x)C2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根,且f(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初始值，Newton法产生的序列{xk}收敛到x*，且满足(*)Ux0(*)xUx12|*||(*)|lim|*|2|(*)|kkkxxfxxxfx至少平方收敛二、牛顿法的收敛性与收敛速度()()()fxgxxfx2(*)(*)(*)01(*)fxfxgxfx在x*的附近收敛由Taylor展开：2()0(*)()()(*)(*)2!kkkkkffxfxfxxxxx2()()*(*)()2()kkkkkkfxfxxxxfxfx12*()(*)2()kkkkxxfxxfx令k，由f(x*)0，即可得结论。证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法思考题1若，Newton法是否仍收敛？(*)0fx设x*是f的m重根，则令：且*()()()mfxxxqx(*)0qx**2*2()()()()()[(1)()2()()()()][()()()]fxfxgxfxqxmmqxmxxqxxxqxmqxxxqx1|(*)|11gxmAnswer1:有局部收敛性Answer2:线性收敛思考题2当x*是f(x)=0的m重根,是否平方收敛？1**'()()'()()()mmmfxqxqxxxxx**1***()'()(1)()()'()()()()'()kkkkkkkkkkkffmqqmqqxxxxxxxxxxxxxxxx*11*1limlimkkkkkkmmxxxx结论：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。x*x0x0x0有根根唯一全局收敛性定理(定理3.3.1)：设f(x)C2[a,b]，若(1)f(a)f(b)0；(2)在整个[a,b]上f(x)0；(3)f(x)在[a,b]上不变号(4)选取初始值x0[a,b]使得f(x0)f(x0)0；则由Newton法产生的序列{xk}单调地收敛到f(x)=0在[a,b]的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的保证产生的序列{xk}单调有界保证Newton迭代函数将[a,b]映射于自身将f(x*)在xk处作Taylor展开***2()0=()()'()()()2!kkkkkffxfxfxxxxx对迭代公式两边取极限，得()'()ff00001()'()fxxxxfx又证明：以0)(,0)(,0)('0xfxfxf为例证明**2*211()()()'()2'()()()2'()kkkkkkkkkkkfxfxxxxfxfxfxxxxfx说明数列{xk}有下界*x1()'()kkkkkfxxxxfx故{xk}单调递减,从而{xk}收敛.令kkxlim？三、计算实例及其程序演示辅助工具:VC程序设计语言Matlab数学软件(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0)计算步骤(2)按公式迭代得新的近似值xk+11()()kkkkfxxxfx(3)对于给定的允许精度，如果则终止迭代，取;否则k=k+1，再转步骤(2)计算*1kxx1||kkxx允许精度最大迭代次数迭代信息例题1用Newton法求方程的根,要求20xxe51||10kkxx1ln(2)kkxx迭代格式一：迭代格式二：121kkxkkkxxexxe取初值x0＝0.0,计算如下：对迭代格式一:theiterativenumberis27,thenumericalsolutionis0.442852706对迭代格式二:theiterativenumberis3,thenumericalsolutionis0.442854401例题2求函数的正实根精度要求：321019.6810.944fxxxx610从图形中我们可以看出：在x=7和x=8之间有一单根；在x=1和x=2之间有一重根。用Matlab画图，查看根的分布情形初值x0＝8.0时,计算的是单根,Theiterativenumberis28,Thenumericalsolutionis7.600001481初值x0＝1.0,计算的是重根,Theiterativenumberis1356,Thenumericalsolutionis1.198631981取初值x0＝8.0,用牛顿迭代公式计算如下：取初值x0＝1.0,用牛顿迭代公式计算如下：小结(1)当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0的单根时，牛顿法在x*的附近至少是平方收敛的。(2)当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0的重根时，牛顿法在x*的附近是线性收敛的。(3)Newton法在区间[a,b]上的收敛性依赖于初值x0的选取。解非线性方程组的牛顿法11221212(,,)0(,,)0(,,)0nnnnfxxxfxxxfxxx()0Fx记为：将非线性方程组线性化，得到：其中F(xk)为F(x)在xk处的Jacobi矩阵：111122221212()nnnnnnfffxxxfffxxxFxfffxxx11()()kkkkxxFxFx＝2221()23xyxyzFxxyzyxeze2()21xyyxzFxyzxzyxzee222123xyxyzxyzyxeze例：用牛顿法解方程组取初始值（1，1，1），计算如下Nxyz01.00000001.00000001.0000000012.18932601.59847511.393900621.85058961.44425141.278224031.78016111.42443591.239292441.77767471.42396091.237473851.77767191.42396051.237471161.77767191.42396051.2374711练习：3.Newton迭代法是如何推出的?它若在单根附近收敛,是几阶收敛?在重根附近是几阶收敛？求方程重根时,能达到2阶收敛的改进Newton迭代公式是什么1.用牛顿法求方程在区间[1，2]内的一个实根，要求5110kkxx324100fxxx2.导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。3a课本作业：P160，第7、8、9题首先导出求根方程，再对使用牛顿法得迭代公式,用全局收敛性定理或局部收敛性定理讨论其收敛性。30xa3fxxa12233nnnaxxx