ch18+量子力学+习题及答案

第18章量子力学基础习题解答1．一波长为300nm的光子，假定其波长的测量精度为610，即6110，求该光子位置的不确定量。解：光子hp，22hhp由测不准关系，光子位置的不准确量为2926300102.3910244410xmmp2．原子的线度为1010m，求原子中电子速度的不确定量。解：依题意，电子位置的不确定量为1010xm，由不确定关系，有2xxpxmv34631101.0510/0.610/229.11010vmsmsmx3．波函数模的二次方的物理意义是什么？波函数必须满足哪些条件？解：波函数是描述粒子运动状态的函数，是微观粒子具有波动性的数学描述，波函数描述的波是概率波，波函数模的平方表示粒子在空间出现的概率，即概率密度。波函数要满足标准条件（即波函数必须是单值、连续和有限的）和归一化条件。4．波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间分布的概率会发生什么变化?解：不变．因为波函数是计算粒子t时刻空间各点出现概率的数学量．概率是相对值．则21、点的概率比值为：22212221DD∴概率分布不变．5．假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写：00,(,)sin0iEtxxaxtAexxaa式中，E和a分别为确定常数，A为归一化系数，计算归—化的波函数和概率密度。解：根据波函数的归一化条件，有222200(,)sin12aaxaxtdxAdxAa得2Aa故归一化波函数为axxaeaaxxtxEti0sin2,00),(相应的概率密度()Px200,2sin0xxaxxaaa6．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：13()cos2xxaa)(axa那么，粒子在ax65处出现的概率密度为多少?解：22*)23cos1(axaaaaaaaaa21)21(14cos1)4(cos145cos12653cos1222227．粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：2()sinnnxxaa)0(ax若粒子处于1n的状态，在0～4a区间发现粒子的概率是多少?解：xaxaxwdsin2dd22∴在4~0a区间发现粒子的概率为：40020244)(dsin2dsin2aaaxaaxaaxaxadwp091.0)(]2cos1[2124/0xadaxa8．宽度为a的一维无限深势阱中粒子的波函数为xanAxsin)(，求：(1)归一化系数A；(2)在2n时何处发现粒子的概率最大？解：(1)归一化系数axx0221dd即aaxanxanAnaxxanA00222)(dsindsinaxanxanAna02)(d)2cos1(212222AanAna∴Aa2粒子的波函数xanaxsin2)((2)当2n时，xaa2sin22几率密度]4cos1[12sin2222xaaxaaw令0ddxw，即04sin4xaa,即,04sinxa，,2,1,0,4kkxa∴4akx又因ax0，4k，∴当4ax和ax43时w有极大值，当2ax时，0w．∴极大值的地方为4a，a43处9．求一电子处在宽度为0.1anm和a=1m的势阱中运动的能级值。把结果同室温(T=300K)下电子的平均平动动能进行比较，可得到什么结论？解：由电子在势阱中的能级公式得当0.1anm时，22222nnEma237.7eVn当ma1时，22222nnEma1923.7710eVn在室温(T=300K)下电子的平均平动动能t23.8810eV。故对宏观问题，电子的量子效应可以忽略。10．质量为m、电量为1q的粒子在点电荷2q所产生的电场中运动，求其定态薛定谔方程。解：系统的势能函数为120()4qqUrr故其定态薛定谔方程为：22120()()24qqEmrrr11．描述原子中电子定态需要哪几个量子数？它们的取值范围如何？它们各代表什么含义？解：主量子数n：n=1，2，…，它基本上决定了原子中电子的能级；角量子数0,1,2,(1)lln：，它决定了电子轨道角动量的大小，对能量也有一定影响；磁量子数lmm,,2,1,0：，它确定了电子轨道角动量的可能空间取向；自旋磁量子数12ssmm：，它确定了电子自旋角动量的可能空间取向。12．原子内电子的量子态由n、l、m、sm四个量子数表征。当n、l、m一定时，不同的量子态数目是多少？当n、l一定时，不同的量子态数目是多少？当n一定时，不同的量子态数目是多少？解：(1)2)21(sm(2))12(2l，每个l有12l个lm，每个lm可容纳21sm的2个量子态．(3)22n13．计算氢原子中l=4的电子的角动量及其在外磁场方向上的投影值，并画出电子角动量L在磁场中空间量子化的示意图。解：20)14(4)1(llL磁场为Z方向，ZLm，0m,1，2，3，4．∴)4,3,2,1,0,1,2,3,4(ZL14．求出能够占据一个d支壳层的最多电子数，并写出这些电子的m和sm值。解：d分壳层的量子数2l，可容纳最大电子数为10)122(2)12(2lZl个，这些电子的：0m，1，2，21sm15．某原子处在基态时，其K、L、M壳层和4s、4p、4d支壳层都填满电子。试问这是哪种原子？解：由题意可得46Z，可知该原子为钯()dP