CH1习题及答案

第一章1.2.3.4.5.有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。（1）问所选零件为次品的概率是多少？（2）发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用iB表示第i批的所有零件组成的事件，用D表示所有次品零件组成的事件。123414PBPBPBPB12341002000.050.420005001001000.10.110001000PDBPDBPDBPDB11110.050.40.10.10.16254444PD（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，2220.250.40.6150.1625PBPDBPBDPD6.7.8.设随机试验X的分布律为X123P0.20.50.3求X的概率密度和分布函数，并给出图形。解：0.210.520.33fxxxx0.210.520.33Fxuxuxux9.10.设随机变量X的概率密度函数为()xfxae，求:(1)系数a；（2）其分布函数。解：（1）由()1fxdx00()2xxxfxdxaedxaedxedxa所以12a（2）1()2xxtFxftdtedt所以X的分布函数为1,0211,02xxexFxex11.12.13.若随机变量X与Y的联合分布律为YX-10100.070.180.1510.080.320.20求：（1）X与Y的联合分布函数与密度函数；（2）X与Y的边缘分布律；（3）ZXY的分布律；（4）X与Y的相关系数。（北P181,T3）解：（1）,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1Fxyuxyuxyuxyuxyuxyuxy,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1fxyxyxyxyxyxyxy（2）X的分布律为00.070.180.150.4010.080.320.200.60PXPXY的分布律为10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35PYPYPY（3）ZXY的分布律为111,10.080001,00.400.320.72111,10.20PZPXYPXYPZPXYPXPXYPZPXYPXY（4）因为00.4010.600.6010.1500.5010.350.20EXEY10.0800.7210.200.12EXY则ov,0.120.600.200CXYEXYEXEYX与Y的相关系数0XY，可见它们无关。14.15.设随机变量~0,1XN，~0,1YN且相互独立，UXYVXY。（1）随机变量,UV的联合概率密度,UVfuv；（2）随机变量U与V是否相互独立？解：（1）随机变量,XY的联合概率密度为22221,,,2xyXYfxyexyR由反函数22uvxuvy，1112211222J，22241,,,4uvUVfuveuvR（2）由于,2222444111422uvuveee2,,UVUVfuvfufvuvR所以随机变量U与V相互独立。16.17.18.19.20.已知对随机变量X与Y，有1EX，3EY，()4DX，()16DY，0.5XY，又设3UXY，2VXY，试求EU，EV，()DU，()DV和(,)CovUV。解：首先，22()()5EXDXEX，22()()25EYDYEY。又因为()(,)()()7XYEXYCovXYEXEYDXDYEXEY。于是(3)36EUEXYEXEY，(2)25EVEXYEXEY22222()()(96)()76DUEUEUEXXYYEU22222()()(44)()52DVEVEVEXXYYEV22()(3)(2)(352)70EUVEXYXYEXXYY(,)()40CovUVEUVEUEV21.22.23.已知随机变量X服从[0,]a上的均匀分布。随机变量Y服从[,]Xa上的均匀分布，试求（1）(),(0)EYXXa；（2）EY解：（1）对[0,]xa有，()2aXEYX（2）/23(())224aXaaEYEEYXEa24.设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N服从泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。（北P101,T10）解：每个粒子是否造成损坏用iX表示1,1,2,,0iXiN造成损坏没有造成损害,造成损坏的粒子数1NiiYX，于是11(|)(|)|nniiiiEYNnEXNnEXNn可合理地认为N和iX是独立的，于是1(|)niiEYXnEXnp()(|)EYEEYNENppENp25.26.随机变量123,,XXX彼此独立；且特征函数分别为123(),(),()xxx，求下列随机变量的特征函数：（1）12XXX；（2）123XXXX；（3）12323XXXX；（4）1232410XXXX；解：（1）12()()()jvXXvEevv（2）同（1），123()()()()Xvvvv（3）12323123()()(2)(3)jvXXXXvEevvv（4）123241010123()(2)()(4)jvXXXjvXvEeevvv27.随机变量X具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。（1）2424()0.20.30.20.20.1jvjvjvjvveeee；（2）()0.30.7jvjvvee；（3）()4/(4)vjv；（4）()(sin5)/(5)vvv；解：（1）0.20.320.240.220.14fxxxxxx(0)/20.340.220.240.10.6EXj22222(0)20.340.220.240.16.8EX226.80.366.44VarXEXEX（2）0.310.71fxxx(0)/10.310.70.4EXj222(0)10.310.71EX2210.160.84VarXEXEX（3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，44()xfxeux201(0)/4(4)4vEXjjv2301(0)8(4)8vEXjv22111()81616VarXEXEX。（4）sin512sin5()510vvvvv，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布，1,55100,xfx其他0EX,21025123VarX,22253EXVarXEX。28.利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。解：由于()fx是宽度为ba，高度为1ba，中心在2ab处的矩形函数。其傅立叶变换为()22sin()/21()jvabvbaFvebav()2sin()2()()()2()jvbjvajvabXvbaeevFvevbajvba29.30.31.设有高斯随机变量2~(,)XN，试利用随机变量的矩发生特性证明：(1)EX(2)222EX(3)3233EX解：特征函数为22()exp(2)Xvjvv，由矩发生性质，22220()(0)()()ejvvXvEXjjjv222222222222220()(0)()()eejvvjvvXvEXjjjv2222333232222230()(0)()()e3()e3XjvvjvvvEXjjjvjv