CH2习题及答案

1第二章2.12.2掷一枚硬币定义一个随机过程：cos()2tXtt出现正面出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：（1）()Xt的一维分布函数(,12)XFx，(,1)XFx；（2）()Xt的二维分布函数12(,;12,1)XFxx；（3）画出上述分布函数的图形。2.3解：（1）X(0.5)01P0.50.5X(1)-12P0.50.5一维分布为:0,0(,0.5)0.5,011,1XxFxxx0,1(,1)0.5,121,2XxFxxx(2)X(1)X(0.5)-1200.50100.5二维分布函数为1111210,0011(,;0.5,1)0.5,2121,1,2xxxFxxx2222或x-1或xxx22.3假定二进制数据序列{B(n),n=1,2,3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。试问，（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？（2）连续4位构成的串的平均串是什么？（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4解：解：（1）由题已知B(n,s)是贝努里随机序列，即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列，利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积，与数据是否连续并无关系，所以有：10111011PPBnPBnPBnPBn0.80.20.80.80.1024（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1,2,3,….其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。所以有：串（4bit数据）为：30)(2)(kkknBnX，其矩特性为：因为随机变量)(nB的矩为：均值：8.08.012.00)]([nBE方差：22222()00.210.80.8VarBnBnBn20.80.80.810.80.80.20.16所以随机变量)(nX的矩为：均值：128.02)]([2)]([3030kkkkknBEnXE方差：6.1316.04)]([)2()]([30302kkkkknBDnXD如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：,1,2,30.8,0.8,0.8,0.8BnBnBnBn串方差：,1,2,30.16,0.16,0.16,0.16VarBnBnBnBn（3）因为有P[B(n)=0]=0.2，P[B(n)=1]=0.8，P[B(n)=1]P[B(n)=0]可知出现概率最大的二进制数据为B(n)=1，又由独立性可得，概率达到最大的串为1,1,1,13（4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。所以如果见到1010后，下一位仍为0或1，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。2.42.52.6设质点运动的位置如直线过程0()XtVtX，其中(1,1)VN与0(0,2)XN，并彼此独立。试问：（1）t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？（2）它是可预测的随机信号吗？2.7解：（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布00[()][][][]EXtEVtXtEVEXt2200[()][][][]2DXtDVtXtDVDXt所以它的一维概率密度函数为:2221()()exp{}2(2)2(2)Xxtfxtt(2)此信号是可预测随机信号2.7假定（-1,+1）的伯努利序列,1,2,...nIn的取值具有等概特性。试问：（1）它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？（2）它是可预测的随机信号吗？2.8解：(1)()0.5(1)0.5(1)Xfxxx[]0.5(11)0nEI12121121212212[][]0(,)(,),[]1nnnnnEIEInnCnnRnnEIInnEX(2)该随机信号不可预测2.82.9给定随机过程()Xt和常数a，试以()Xt的自相关函数来表示差信号()()()YtXtaXt的自相关函数。2.10解：由题意可得：4(,)[()()]{[()()][()()]}[()()][()()][()()][()()](,)(,)(,)(,)YXXXXRstEYsYtEXsaXsXtaXtEXsaXtaEXsaXtEXsXtaEXsXtRsataRsatRstaRst2.10两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A与B为未知随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A、B与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，（1）两个随机信号的互相关函数),(21ttRXY；（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；题2.11解：（1）121212,sinsinXYRttXtYtAtBt12121coscos22ABtttt12121coscos22ABtttt因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以12cos20tt，上式12121,cos2XYRttABtt；（2）①如果E[A]或E[B]为0，则12,0XYRtt，随机信号X(t)与Y(t)正交；②因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以有sin0XtAt，cos0YtBt，12121212,,,XYXYXYCttRttXtYtRtt，如果E[A]或E[B]为0，则1212,,0XYXYRttCtt，X(t)与Y(t)互不相关；如果E[A]与E[B]均不为0，则1212,,0XYXYRttCtt，X(t)与Y(t)相关；综上，X(t)与Y(t)的正交性与互不相关性等价；5③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。2.112.12假定正弦电压信号()cosXtAt，其中，A服从均匀分布(1,1)U，服从均匀分布(,)U，它们彼此独立。如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。题2.13解：由电路原理的相关知识可知：总电流I为cos()sin()AIwtACwwtR，则2222222222222[][(cos()sin())][cos()sin(22)sin()]133AEIEwtACwwtRAACEwtwtACwwtRRCwR2.132.14零均值高斯信号()Xt的自相关函数为12()0.5ettXR，求()Xt的一维和二维概率密度。题2.15解：(1)因为()0Xmt，()(0)(0)0.5XXXDtCR，所以一维概率密度函数为：22()1,exp2()2()1expXXXXxmtfxtDtDtx(2)高斯信号X(t)的二维概率密度函数为：12()()XtXtX，t12tt，00μ，11121112212221221212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)0.50.5exp0.5exp0.5XXXXCttCttRttRttCttCttRttRttttttC，(,)ijCtt为协方差，则611/21,exp22TfXxCxxtC2.152.162.17某高斯的均值()2Xmt，协方差1212(,)8cos()XCtttt，写出当10t、20.5t和31t时的三维概率密度。题2.18解：由定义得：111212122212(,)(,)...(,)(0,0)(0,0.5)(0,1)(,)(,)...(,)(0.5,0)(0.5,0.5)(0.5,1)(1,0)(1,0.5)(1,1)(,)(,)...(,)nnnnnnCttCttCttCCCCttCttCttCCCCCCCttCttCttC又因为(0,0)(0.5,0.5)(1,1)8cos(0)8CCC(0,0.5)(0.5,1)(0.5,0)(1,0.5)8cos(0.5)CCCC(0,1)(1,0)8cos(1)CC设123()()()XtXtXtX，t123ttt，222μ，88cos(1/2)8cos18cos(1/2)88cos(1/2)8cos18cos(1/2)8C则11/23/21,exp22TfXxμCxμxtC2.18设随机变量,~,XYNμC，其中22μ，2335C，求,XY的概率密度和特征函数,XYuv。题2.19解：因为()2EX与()2EY，2,5XYDD，而(,)332510XYCovXYDD。于是，(,)~2,2;2,5;3/10XYN。则(X，Y)的概率密度函数为722232221,exp{5}2255XYxxyyfxy其特征函数为221,exp22652XYuvjuvuuvv