DayDayUp高二寒假数学之排列与组合

1数学·选修2-3排列与组合【知识概述】排列与组合是高考每年必考内容之一，一般有1-2道小题，且多为选择题、填空题.虽然在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性和综合性.高考对排列、组合内容的考查，一般以实际应用题形式出现，这是因为排列、组合的应用性比较强，并充满思辨性，解法具有多样性，符合高考选择题的特点，易于考查学生理解问题的能力、分析和解决问题的能力及分类讨论的思想.（1）排列①从n个不同元素中任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.②排列数公式：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数叫排列数，记为mnA.mnA=n（n-1）（n-2）---（n-m+1）（m,n∈N*）当m=n时A!nnnmnA=)!(!mnn为了使此式m=n时成立规定1!0（2）组合①组合定义：一般地说，从n个不同元素中，取出m个不同元素（nm）组成一组，叫从n个不同元素取出m个元素的一个组合.②组合数公式从n个不同元素中取出m（nm）个元素的所有组合的个数，叫从n个元素中取出m个元素的组合数.记为mnC!mACmnmn因为mnA)!(!mnn所以)!(!!mnmnCmn2数学·选修2-3③组合数性质：（1）mnnmnCC；（2）mnmnmnCCC11（规定10nC）【学前诊断】1．[难度]易某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．2.[难度]易从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有____个．3．[难度]中8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为().A．8289AAB．8289ACC．8287AAD．8287AC【经典例题】例1.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男女相间.例2．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻.例3．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.3数学·选修2-3例4.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是_____________.（用数字作答）例5.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒子不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？例6.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排放案的种数是（）.A．152B．126C．90D．54【本课总结】1.组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算．注意公式的逆用．即由n！m！n－m！写出Cmn.2.要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．3．解排列组合问题的常用方法：（1）有特殊元素用特殊元素优先法；（2）有特殊位置用特殊位置优先法；（3）相邻问题用捆绑法；（4）不相邻问题用插空法；（5）“至多”“至少”问题要合理使用直接或间接法【活学活用】1．[难度]易某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A．42B．30C．20D．124数学·选修2-32．[难度]中某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有().A．16种B．36种C．42种D．60种3．[难度]难3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同的排法种数是________．