DGM(1,1)模型

DGM（1,1）模型分析1.1建模原理和思路定义：称X(1)(k+1)=β1X(1)(k)+β2为离散灰色预测模型DGM（1,1）模型，或称为DGM（1,1）模型的离散形式。建模过程：第一步，设X(0)为非负序列，X(0)={x(0)(1),x(0)(2)，…，x(0)(n)}第二步，计算X(0)的一次累加生成序列X(1)X(1)={x(1)(1),x(1)(2)，…，x(1)(n)}，其中x(1)(k)=∑x(0)(i)ki=1(k=1,2,⋯n)第三步，利用最小二乘法计算参数值若β̂=（β1，β2）T为参数列，且Y=[x(1)(2)x(1)(3)⋮x(1)(n)]，B=[x(1)(1)x(1)(2)⋮11⋮x(1)(n−1)1]则离散灰色预测模型X(1)(k+1)=β1X(1)（k）+β2的最小二乘估计参数列满足β̂=（β1，β2）T=（BTB）−1BTY第四步，取X(1)(1)=X(0)(1)，则递推函数为X̂(1)(k+1)=β1kX(0)(1)+1−β1k1−β1×β2或X̂(1)(k+1)=β1k(X(0)(1)−β21−β1)+β21−β1第五步，求出还原值X̂(0)X̂(0)(k+1)=X̂(1)(k+1)−X̂(1)(k)1.2模型的适用范围和应用背景用GM（1,1）模型进行预测，有时效果不十分理想并且缺乏稳定性，灰色预测模型是基于最小二乘法的指数拟合曲线，但当用纯指数进行拟合时，却又不能完全取得满意的拟合效果，往往会产生一些偏差。有学者指出GM（1,1）模型的白化响应式并不是其灰微分方程的真正解，是GM（1,1）模型即使拟合纯指数序列也会产生误差的原因，由此谢乃明研究了离散GM（1,1）模型（即DGM（1,1）模型）及其拓广形式的建模机理，能够完全拟合纯指数序列和非齐次指数序列，有效避免了GM（1,1）模型白化方程到白化响应式之间产生的误差。DGM（1,1）模型与GM（1,1）模型可以认为是同一模型的不同表达方式，在a取值较小时可以相互替代。只要源数据具有近似指数增长规律，都可以用DGM（1,1）模型来模拟和预测。对于具有近似指数增长规律的源数据序列，可以采用离散灰色模型进行模拟、预测。对于接近齐次指数序列的非指数增长序列和震荡序列，相较于GM（1,1）模型应优先选择DGM（1,1）模型。1.3案例研究------基于DGM（1,1）模型的房地产价格预测房价近年来一直是全国人民关注的焦点话题，而引发房地产价格上涨的因素众多，例如政治因素、环境因素、经济发展水平及居民收入水平等诸多因素均影响着房地产价格走向，因此，房地产价格的预测具有很强的灰色不确定性，可以采用DGM（1,1）模型对房地产价格进行预测。根据国家统计年鉴得出的江苏省08-12年间的商品房平均销售价格如下表所示：年份20082009201020112012房价（万元/m2）0.62620.78260.92580.98381.0642将以上数据作为初始数据，进行DGM（1,1）模型建模，并由此预测后几年江苏省商品房平均销售价格，基于上述1.1部分DGM（1,1）模型的建模原理和思路，所得结果如下：𝐗(𝟎)=(0.6262,0.7826,0.9258,0.9838,1.0642）𝐗(𝟏)=（0.6262,1.4088,2.3346,3,3184,4.3826）（递加得出）𝛃𝟏̂=𝟏.𝟗𝟗𝟎𝟏，𝛃𝟐̂=𝟎.𝟕𝟒𝟖𝟔𝐗̂(𝟏)=(0.6262,1.4369,2.3278,3.3071,4.3835)𝐗̂(𝟎)=(0.6262,0.8106,0.8910,0.9793,1.0763)（递减得出）误差检验表序列号原始数据模拟值残差相对误差10.626220.78260.8106-0.0280.0357830.92580.89100.03480.0375940.98380.97930.00450.0045751.06421.0763-0.01210.01137平均相对误差∆=0.03578+0.03759+0.00457+0.11374=0.02328由以上检验可知，模拟值与原始值误差较小，预测模型可以使用。这样便可以算得12年以后江苏省各年商品房平均销售价格的预测值，计算结果如下表：年份2013201420152016房价预测值（万元/m2）1.18301.30021.42911.5707同时，也可以运用灰色系统建模软件（GTMS3.0）来进行预测，下图为建模软件所得结果，计算结果和上述计算结果基本吻合，所以可以验证上述计算结果正确。1.4结果分析DGM(1,1)模型全面符合灰色预测模型的建模机理，是一种新的灰色预测模型,或者说是灰色预测模型的一种新形式；原GM(1,1)模型存在的缺陷在DGM(1,1)中得到了解决，DGM(1,1)模型可以全面解释原GM(1,1)模型从离散形式到连续形式转变问题，提供了理论基础；用DGM(1,1)做纯指数增长序列预测模拟，结果完全符合增长规律，解决了预测稳定性问题，因此可以将DGM(1,1)称为GM(1,1)模型的精确形式，而原GM(1,1)模型称为近似形式。