上海高考数学复习专题-三角函数

1第三章三角函数第一节任意角三角函数的基本概念及诱导公式1、三角函数的概念1.1角的单位制——角度值（º）、弧度制（rad），角度与弧度的换算关系：180º=πrad1°=  1 rad=º≈57.30º1.2角的基本定义1）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，表示为|=2+，k∈Z!【注】在表示一组角时，一定要加注“k∈Z”这一条件，用它来表示这组角的关系是固定的。如|=2+，k∈Z!，“k∈Z”表示这些角都是在α角的基础上再绕原点旋转360º的整数倍。2）象限角——终边不在坐标轴上的角，它也是一组角的集合。
第一象限的角：|22+$,∈&'
第二象限的角：|2+$2+,∈&'
第三象限的角：|2+2+($,∈&'
第四象限的角：|2+($2+2,∈&'3）轴线角——终边与坐标轴重合的一组角的集合。
终边在x轴方正向的角：)|=2, ∈&*
终边在y轴正方向的角：|=2+$, ∈&'
终边在x轴负方向的角：)|=2+, ∈&*
终边在y轴负方向的角：|=2+($, ∈&'1.3任意角三角函数1.3.1任意角的三角函数的定义如图所示，角α起始边在x轴正方向上，顶点在原点，终边上一点p（x，y），|op|=r=-.$+/$ ，则: sin=34,cos=64tan=36,cot=63=89:;sec=46==?;csc=43=?@:;【注】上述公式为定义式，适用于所有情况，其中“x”、“y”为点p的坐标。21.3.2同角三角函数间的关系
平方关系：ABC$+DEA$=1AFD$=GC$+1DAD$=DEG$+1
商的关系：tan=?@:;=?;cot==?;?@:;
倒数关系：cot=89:;sec==?;csc=?@:;1.3.3三角函数值的正负分区（可借助单位圆理解）1.3.4同角三角函数的比较（可借助单位圆理解）
角α终边位于直线y=x上方，⇔sincos
角α终边位于直线y=x上，⇔sin=cos
角α终边位于直线y=x下方，⇔sincos1.4圆心角用弧度表示时，弧长及扇形面积的计算公式设扇形的半径为r，圆心角为α（用弧度制表示），所对的弧长为l，则有：
弧长公式：l=α∙
扇形面积公式：s=$M∙ =$∙ $1.5特殊角的三角函数值（结合单位圆记忆）
sin0=0cos0=1tan0=0
sinN=sin30°=$cosN=cos30°=√($tanN=tan30°=√((
sinP=sin45°=√$$cosP=cos45°=√$$tanP=tan45°=1
sin(=sin60°=√($cos(=cos60°=$tan(=tan60°=√3
sin$=sin90°=1cos$=cos90°=0tan$不存在32、三角函数的诱导公式——“奇变偶不变，符合看象限”2.1常用的三角函数变换公式
sinT$−V=coscosT$−V=sintanT$−V=cot
sinW−X=sincosW−X=−costanW−X=−tan
sinW−X=−sincosW−X=costanW−X=−tan
sinW2+X=sincosW2+X=costanW+X=tan（k∈Z）2.2对诱导公式的理解——“奇变偶不变，符合看象限”1）“奇变偶不变”——诱导公式“k∙$+”(k∈Z)中，
若整数k是“奇数”，三角函数的名称前、后要改变。“sin()”↔“cos()”“tan()”↔“cot()”
若整数k是“偶数”，三角函数的名称前、后不变。2）“符合看象限”——变换后函数值的正负，根据诱导公式“k∙$+ ”(k∈Z)，将α看成锐角时，“k∙$+ ”所在的象限，所对应的原三角函数值的正负确定。例sinT($+V=−cos（1）k=3，为“奇数”，故”sinWX“↔cosWX（2）将α看成锐角时，“($+”位于第四象限，sinT($+V0，故“cosα”前加“-”号。例cosT+;$V=−cos;$（1）k=2，为“偶数”，故变换前后三角函数的名称不变。（2）将“;$”看成锐角时，“π+;$”位于第三象限，cosT+;$V0，故“cos;$ ”前加“-”号。3、常用三角函数公式3.1两角和的公式sinW+X=sin∙cos+cos∙sin sinW−X=sin∙cos−cos∙sin cosW+X=cos∙cos−sin∙sincosW−X=cos∙cos+sin∙sin tanW+X=89:;[89:\]89:;∙89:\tanW−X=89:;]89:\[89:;∙89:\3.2二倍角公式sinW2X=2sin∙coscosW2X=DEA$−ABC$=2DEA$−1=1−2ABC$tanW2X=$89:;]^_`a;3.3万能公式sin=$89:ba[^_`abacos=]^_`aba[^_`abatan=$89:ba]^_`aba44、任意角三角函数的相关计算4.1利用三角函数定义解题的基本类型及方法（1）已知角α终边上一点P(x,y)的坐标，求三角函数值——先求出点P到原点O(0,0)的距离r，然后利用三角函数的定义求解。（2）已知角α的终边所在的直线方程y=kx+b，求三角函数值——先设出终边上一点的坐标P(x,y)，求出此点到原点O(0,0)的距离，然后利用三角函数的定义求解相关问题，同时注意分类讨论。（3）判断三角函数值的符号——先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断函数值的正负。4.2利用已知tanα，计算形如齐次式的值：（1）求_?@:;[c=?;d?@:;[e=?;=_89:;[cd89:;[e（同除以cosα）（2）求_fg`a;[cdhfa;dfg`a;[edhfa;=_^_`a;[cd^_`a;[e（同除以DEA$）（3）求aABC$+iDEA$=_fg`a;[cdhfa;fg`a;[dhfa;=_^_`a;[c^_`a;[（将分母“1”用“ABC$+DEA$”代换）4.3万能公式的利用，利用已知（或已求）的tan，计算sin(2α),cos(2α)等。【例1】已知：角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos(2θ)=（B）A.−PjB.−(jC.$(D.(P【解析】已知角θ的终边所在的直线方程，可以求得该角的正切值tanθ。再利用同角三角函数间的关系可求出cos(2θ)【解】∵角θ的终边在直线y＝2x，∴k=2=tanθ∴cosW2kX=dhfal]fg`aldhfal[fg`al=]^_`al[^_`al=]P[P=−(j【例2】如图，在平面直角坐标系xoy中，一单位圆圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，mnooooop的坐标为：（W2−sin2,1−cos2X）【解析】本题需求出p点的坐标，需分析圆心与P点的运动关系，在圆运动过程中，圆上的p点由开始处于原点，到运动后的P点，圆心由点（0,1）运动到点A（2,1）,圆心运动的路程为2，故p点运动的弧长为2，即BPs=2 .从而先求出∠BAP.【解】如图，由题意可知vns=mv=2圆半径为r=1根据弧长公式l=α∙r，可得∠BAP=w4=2（rad）∠PAD=∠BAP−$=2−$|AD|=|AP|∙cos∠nyz=cosT2−$V=sin2|nz|=|yn|∙sin∠nyz=sinT2−2V=−cos2∴ |m{|=2−sin2 ,|n{|=1−cos2∴mnooooop=W2−sin2,1−cos2X5【例3】若z=sink−(j+BTcosk−PjV是纯虚数，则tanWk−X的值为：（C）A.(PB.P(C.−(PD.−P(【解析】本题根据z为纯虚数，可以分别求得sinθ，cosθ，进而求出tanθ【解】根据z为纯虚数，可以得出}sink−(j=0cosk−Pj≠0解得}sink=(jcosk=−Pj∴tanWk−X=−tanW−kX=tank=−(P【例4】设函数f(x)(x∈R)满足fW.+X=€W.X+sin.。当0≤xπ时，f(x)=0,则fT$(NV=（A）A.$B.√($C.0D.−$【解析】由 fW.+X=€W.X+sin.，要求fT$(NV，需将“$(N”逐步减“π”，转化到“…0，X”【解】fT$(NV=€T†NV+sinT†NV=€TNV+sinTNV+sinT†NV=fTjNV+sinTjNV+sinTNV+sinT†NV=sinTNV=$【例5】已知sinW3−X=√2cosT($+V，√3cosW−X=−√2cosW+X。且0απ，0βπ，求α，β的值。【解析】本题应利用三角函数的诱导公式对已知条件进行先化简，再根据三角函数值确定α，β。【解】由sinW3−X=√2cosT($+V，可得sin=√2sin（1）由 √3cosW−X=−√2cosW+X，可得√3cos=√2cos（2）由（1）（2）可得，2WABC$+DEA$X=ABC$+3DEA$， DEA$=$，∵0απ∴cos=√$$∴α=P或α=(P由（1）（2）可得，tan=√(89:;当 α=P时，可得tan=√((，β=N；当α=(P时，tan=−√((，β=jN【注】本题在根据（1）（2）计算β时，必须同时满足（1）（2）两式。6【例6】已知方程.$+4.+3+1=0W1X的两根为tanα，tanβ，且α，βϵT−$，$V，则tan;[\$的值是：（C）。A.$或−2B.$C.-2D.P(【解析】根据根与系数的关系，可得‰tan+tan=−40tan∙tan=3+10tanW+X=]P_]W(_[X=P(又∵tanα，tanβ同号，且tan+tan0，∴α，βϵT−$，0V∴tan;[\$0设tan;[\$=G则有$^]^a=P(解得：t=-2第二节三角函数的图像和性质1、正弦函数y=sin.的图像及性质1.1正弦函数y=sin.的图像1.2正弦函数 y=sin.的性质
定义域:R
值域：[-1,1]
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形。1)对称轴——直线x=kπ+$(k∈Z);任一通过其最高点（或最低点）与x轴垂直的直线。2)对称中心——点（kπ,0）(k∈Z)，y=sin.的任一零点，都是其对称中心。
周期性——为周期函数，最小正周期为：T=2π。【注】y=|sin.|的最小正周期为：T=π
奇偶性——奇函数
单调性——1)单调递增区间：Œ2−$，2+$ （k∈Z）2)单调递减区间：Œ2+$，2+($ WŽ&X
最值——1）当x=2kπ−$(k∈Z)时，/g`=−12）当x=2kπ+$(k∈Z)时， /_6=172、余弦函数y=cos. 的图像及性质2.1余弦函数 y=cos. 的图像2.2余弦函数 y=cos.的性质
定义域:R
值域：[-1,1]
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形。1)对称轴——直线x=kπ(k∈Z);任一通过其最高点（或最低点）与x轴垂直的直线。2)对称中心——点（kπ+$,0）(k∈Z)，y=cos. 的任一零点，都是其对称中心。
周期性——为