导数的几何意义

1.1.3导数的几何意义1.平均变化率函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:2.平均变化率的几何意义：OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y121)()xfxxx2f(ykx121)()xfxxx2f(yx割线的斜率3.导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率0000(Δ)()()limxfxxfxfxx称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即0|xxy0()fx4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤是:001()()();yfxxfx求函数的增量002()()();求平均变化率fxxfxyxx003()()lim.取极限，得导数xyfxx1.根据导数的几何意义描述实际问题.2.求曲线上某点处的切线方程.（重点）3.导函数的概念及对导数的几何意义的理解.（难点）平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？探究点1切线切线割线如图直线l1是曲线C的切线吗?l2呢?l2l1AB0xyl1不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线.观察图形你能得到什么结论？切线的定义：当点沿着曲线趋近于点，即时，割线趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.nPP0xnPP注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.xyoy=f(x)在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系？平均变化率割线的斜率瞬时变化率（导数）切线的斜率0x0x探究点2导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，即：()yfx0xxk0000()lim()xfxxfxkfxx曲线在点(x0,f(x0))处的切线的方程为：000()()().yfxfxxx导数的几何意义例1求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.0002020111122()()lim()()lim()lim.xxxfxxfxkxxxxxx解：【总结提升】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出切点P的坐标；②求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数；③利用点斜式求切线方程.例2如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105.69.4)(2ttth的图象.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.)(th210,,ttttoht0t1t2l0l1l2t4t3解:可用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴.故在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(2)当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0.故在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.'tohl0t0t1l1t2l2t4t3从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢.(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0.故在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.'【总结提升】通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论?(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；(2)函数的单调性与其导函数正负的关系；(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系.例3如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图象，根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值，验证一下，这些值是否正确.t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率f′(t)04.10.4-0.70000''''',,.,,,(derivativefunction)().,lim.xfxxxxxfxxfxxfxyfxfxxfxyfxyx从求函数在处导数的过程可以看到当时是一个确定的数这样当变化时便是的一个函数我们称它为的简称的导函数有时也记作即导函数导数一、选择题1.曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是()A．－4B．0C．4D．不存在B2．曲线y＝12x2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为()A．1B.π4C.5π4D．－π4B3．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么()A．h′(a)＝0B．h′(a)0C．h′(a)0D．h′(a)不确定B4.曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为()A.(－2，－8)B.(1,1)，(－1，－1)C.(2,8)D.B1128（-，-）二、填空题5．已知曲线y＝1x－1上两点A(2，－12)，B(2＋Δx，－12＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．16-6．P是抛物线y＝x2上一点，若过点P的切线与直线y＝－12x＋1垂直，则过点P的切线方程为________．y＝2x－12.函数在处的导数的几何意义，就是函数的图象在点处的切线的斜率（数形结合）)(xf0xx0/xf)(xf00,()Pxfx0000/()()()limxfxxfxfxx＝切线的斜率k1.曲线的切线定义4.导函数(简称导数)0()()()limxfxxfxfxx'3.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学思想方法.以简单对象刻画复杂的对象