27函数的图象-学生

§2.7函数的图象2014高考会这样考1.考查基本初等函数的图象；2.考查图象的性质及变换；3.考查图象的应用．复习备考要这样做1.会画一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图象；2.掌握常见的平移、伸缩、对称三种图象变换；3.利用图象解决一些方程解的个数，不等式解集等问题，巩固数形结合思想．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)――→关于x轴对称y＝－f(x)；②y＝f(x)――→关于y轴对称y＝f(－x)；③y＝f(x)――→关于原点对称y＝－f(－x)；④y＝ax(a0且a≠1)――→关于y＝x对称y＝logax(a0且a≠1)．(3)翻折变换①y＝f(x)――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|.②y＝f(x)――→保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)．(4)伸缩变换①y＝f(x)y＝f(ax)．②y＝f(x)――→a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变y＝af(x)．[难点正本疑点清源]1．数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置．2．图象的每次变换都针对自变量而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移12个单位．其中的x变成x－12.3．要理解一个函数和图象自身的对称性和两个不同函数图象对称关系的不同．1．函数y＝1－1x－1的图象是()2．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(|x|)3．函数y＝2x－x2的图象大致是()4．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()5．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是()A.[]－1，1＋22B.[]1－22，1＋22C.[]1－22，3D.[]1－2，3答案C解析由y＝3－4x－x2，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．∴曲线y＝3－4x－x2是半圆，如图中实线所示．当直线y＝x＋b与圆相切时，|2－3＋b|2＝2.∴b＝1±22.由图可知b＝1－22.∴b的取值范围是[]1－22，3.题型一作函数图象例1分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1;(4)y＝x＋2x－1.探究提高(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1x的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．作出下列函数的图象：(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝10|lgx|.题型二识图、辨图例2函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()探究提高函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(1)函数y＝x＋cosx的大致图象是()(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝2x＋1，x≥0x3＋1，x0D．y＝ex，x≥0e－x，x0题型三函数图象的应用例3已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．思维启迪：利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．探究提高(1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．(2)利用函数图象可以解决一些形如f(x)＝g(x)的方程解的个数问题．(1)(2011·课标全国)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个(2)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．1.高考中的函数图象及应用问题高考中和函数图象有关的题目主要有三种形式：一、已知函数解析式确定函数图象典例：(5分)(2012·山东)函数y＝cos6x2x－2－x的图象大致为()考点分析本题考查识图能力，考查对函数性质的灵活应用．解题策略利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解．∵y＝f(x)＝cos6x2x－2－x，∴f(－x)＝cos－6x2－x－2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A；当x从正方向趋近0时，y＝f(x)＝cos6x2x－2－x趋近＋∞，排除选项B；当x趋近＋∞时，y＝f(x)＝cos6x2x－2－x趋近0，排除选项C.故选择选项D.答案D解后反思(1)确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想．(2)对于给出图象的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除．二、函数图象的变换问题典例：若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()解后反思对图象的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．三、图象应用典例：讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．解后反思利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想；解题中要注意对方程适当变形，选择适当的函数作图.A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是()A．y＝(x－3)2＋3B．y＝(x－3)2＋1C．y＝(x－1)2＋3D．y＝(x－1)2＋12．若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，其中a，b(a0且a≠1)为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是()3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()4．函数xxxf2121的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x－y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．6．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是________．7．(2011·北京)已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－13，x2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．三、解答题(共25分)8．(12分)已知函数f(x)＝x1＋x.(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．9．(13分)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·厦门模拟)函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，则y＝f(x＋1)的图象大致是()2．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是()3．函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．2B．4C．6D．8二、填空题(每小题4分，共12分)4．(2012·课标全国改编)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是________．5．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．6．设b0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为________．三、解答题(13分)7．已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时f(x)的表达式．