2函数概念与基本初等函数(全)

第1页共54页高考数学第一轮复习教案汇总【精华】专题二函数概念与基本初等函数一、考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．二、考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、命题热点分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。2012年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.四、知识回顾（一）本章知识网络结构：第2页共54页定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质（二）考点总结（1）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数.3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题.4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性.5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（2）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景.2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题.4．知道指数函数是一类重要的函数模型.（3）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数.（4）幂函数1．了解幂函数的概念.2．结合函数的图像，了解它们的变化情况.（5）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系.2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（6）函数模型及其应用第3页共54页1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.（三）知识要点回顾（一）映射与函数（1）映射与一一映射（2）函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.（3）反函数反函数的定义设函数))((Axxfy的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(yC)叫做函数))((Axxfy的反函数，记作)(1yfx,习惯上改写成)(1xfy（二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,⑴若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；⑵若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数..函数的奇偶性第4页共54页正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)(xf为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）)()(xfxf或)()(xfxf是定义域上的恒等式。2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反.4．如果)(xf是偶函数，则|)(|)(xfxf，反之亦成立。若奇函数在0x时有意义，则0)0(f。7.奇函数，偶函数：⑴偶函数：)()(xfxf设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y轴对称，例如：12xy在)1,1[上不是偶函数.②满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.⑵奇函数：)()(xfxf设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：3xy在)1,1[上不是奇函数.②满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.8.对称变换：①y=f（x））（轴对称xfyy②y=f（x））（轴对称xfyx③y=f（x））（原点对称xfy9.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10.外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数f（x）=1+xx1的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是.解：)(xf的值域是))((xff的定义域B，)(xf的值域R，故RB，而A1|xx，故AB.11.常用变换：①)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf.22122212122222121)()()(bxbxxxxxbxbxxfxfx）（AB第5页共54页▲xy证：)()(])[()()()()(yfyxfyyxfxfxfyfyxf②)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf证：)()()()(yfyxfyyxfxf12.⑴熟悉常用函数图象：例：||2xy→||x关于y轴对称.|2|21xy→||21xy→|2|21xy▲xy▲xy(0,1)▲xy(-2,1)|122|2xxy→||y关于x轴对称.⑵熟悉分式图象：例：372312xxxy定义域},3|{Rxxx，值域},2|{Ryyy→值域x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数)10(aaayx且的图象和性质a10a1图象4.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234y=14.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234y=1性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1(4)x0时，y1;x0时，0y1(4)x0时，0y1;x0时，y1.（5）在R上是增函数（5）在R上是减函数对数运算：▲xy23第6页共54页nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog...loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12)1(推论：换底公式：（以上10且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21）注⑴：当0,ba时，)log()log()log(baba.⑵：当0M时，取“+”，当n是偶数时且0M时，0nM，而0M，故取“—”.例如：xxxaaalog2(log2log2中x＞0而2logxa中x∈R）.对数函数y=logax的图象和性质:第7页共54页五、典型例题题型1：函数及其表示1．函数y＝－x2－3x＋4x的定义域为________________．解析由题意得－x2－3x＋4≥0，x≠0，因此－4≤x≤1且x≠0.答案[－4,0)∪(0,1]2．下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是________．①f(x)＝lnx②f(x)＝1x③f(x)＝|x|④f(x)＝ex解析y＝1x定义域为(0，＋∞)，f(x)＝lnx定义域为(0，＋∞)，f(x)＝1x定义域为{x|x≠0}．f(x)＝|x|定义域为R，f(x)＝ex定义域为R答案①3．已知函数f(x)＝log2x，x0，2x，x≤0.若f(a)＝12，则a＝________.解析当a0时，log2a＝12，∴a＝2，当a≤0时，2a＝12＝2－1，∴a＝－1.∴a＝－1或2.答案－1或24．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)＝________.解析f(1)＝f(0＋1)＝f(0)＋f(1)＋2×0×1＝f(0)＋f(1)，∴f(0)＝0.f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1＝f(－1)＋f(1)－2，∴f(－1)＝0.f(－1)＝f(－2＋1)＝f(－2)＋f(1)＋2×(－2)×1＝f(－2)＋f(1)－4，∴f(－2)＝2.f(－2)＝f(－3＋1)＝f(－3)＋f(1)＋2×(－3)×1＝f(－3)＋f(1)－6，∴f(－3)＝6.a10a1图象y=logaxOyxa1a1x=1性质（1）定义域：（0，+∞）（2）值域：R（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0（4）)1,0(x时0y),1(x时y0)1,0(x时0y),1(x时0y（5）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数第8页共54页答案65．已知f1－x1＋x＝1－x21＋x2，则f(x)的解析式为__________．解析令t＝1－x1＋x，则x＝1－t1＋t，因此f(t)＝1－1－t1＋t21＋1－t1＋t2＝2t1＋t2，因此f(x)的解析式为f(x)＝2x1＋x2.答案f(x)＝2x1＋x26．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝1(－1x≤0)－1(0x≤1)，