2单相正弦交流电路.

1第2章单相正弦交流电路2.1正弦交流电的基本概念2.2正弦量的相量表示法2.3正弦电路中的电阻元件2.4正弦电路中的电感元件2.5正弦电路中的电容元件2.6电阻、电感与电容串联的交流电路2.7阻抗的串联与并联2.8功率因数的提高2.9电路的谐振22.1正弦交流电的基本概念交流电压、交流电流、交流电动势：在一个周期内平均值等于零的周期电压、周期电流、周期电动势。正弦量：按正弦规律变化的物理量的统称。正弦电流、正弦电压、正弦电动势：随时间按正弦规律变化的电流、电压、电动势。正弦交流电：正弦电流、电压、电动势的统称。交流电路：通过交流电流的电路。正弦交流电路：电路中所有电压、电流、电动势都是正弦量的电路。3在一定的参考方向下，正弦电压可表示为0sin()muUt正弦电流的波形图正弦量的主要特征：大小、变化的快慢及变化的进程4一、正弦交流电的周期、频率和角频率Tf1f2T2周期、频率和角频率都是表示正弦量变化快慢的量，周期愈大，正弦量变化愈慢；角频率愈大，频率愈高，正弦量变化愈快。周期：正弦量完成一个循环的变化所需要的时间。用T表示，单位为秒（s）。频率：正弦量在单位时间内变化所完成的循环数。用f表示，单位为赫兹（Hz）。角频率：正弦量在单位时间内变化的角度，即每秒变化的弧度数。用ω表示，单位为弧度/秒（rad/s）。三者之间的关系：5瞬时值：随时间变化的电压或电流在某一时刻的数值。最大值：正弦量在变化过程中出现的最大瞬时值，又称最大值。大写字母加下标m来表示，如Im、Um、Em。有效值：如果一个周期性电流i通过某一电阻R，在一个周期内产生的热量与另一个直流电流I通过电阻R在相等的时间内产生的热量相等，则将此直流电流的数值I称为该周期性电流的有效值。大写字母表示，如I、U、E。RTIRdti2T02由此可得到周期电流的有效值TdtiTI021设i=Imsin(ωt+φi)时m222mm0011IIIsin()I[1cos2()]22TTiitdttdtTT二、正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值6三、正弦交流电的相位、初相与相位差相位角或相位：正弦量的数学表达式中的角度（ωt+φ0）反映正弦量变化的进程。初相位或初相：t=0时正弦量的相位角。初相反映正弦量在计时起点的状态。初相与参考方向和计时起点的选择有关。正弦量的三要素：幅值、角频率（或频率）和初相位。7两个同频率正弦量的相位差u=Umsin(ωt+ψu)i=Imsin(ωt+ψi)π≤︱︱取值范围u和i的相位之差iuiutt)()(相位差：两个同频率的正弦量的相位角之差。0iu0iu超前滞后u在相位上超前i角度，或，i在相位上滞后u角度。u在相位上滞后i角度，或，i在相位上超前u角度。80iuiu电压u与电流i同相位，简称同相电压u与电流i反相9复数的极坐标形式iimmIIII正弦量相量：表示正弦量的复数。正弦量的幅值（最大值）相量：以正弦量的幅值（最大值）为模，辐角等于正弦量的初相位的复数。正弦量的有效值相量：以正弦量的有效值为模，辐角等于正弦量的初相位的复数。相量图：用复平面上的矢量表示相量的图形。在相量图中，习惯上用表示相量的符号来表示对应的矢量。正弦量与复数和矢量之间存在着一一对应的关系。正弦量既可以用复数表示，也可以用矢量表示。但正弦量既不是复数，也不是矢量。2.2正弦量的相量表示法10一、正弦量的旋转矢量表示法旋转矢量的长度代表正弦量的幅值旋转矢量的初始位置与横轴正方向的夹角代表正弦量的初相位旋转矢量的角速度代表正弦量的角频率旋转矢量任一瞬时在纵轴上的投影表示正弦量在该时刻的瞬时值正弦量可以用旋转矢量来表示11相量表达式复数→正弦量i矢量→复数ijmmeIIIIeeIIiijjmm22其中ijIeI12几点说明只有正弦量（包含余弦量）才能用相量表示，非正弦周期量不能直接用相量表示。只有同频率的正弦量的相量之间才能进行相量运算，不同频率的正弦量的相量之间不能进行相量运算。一般情况下，只有同频率的正弦量的相量才能画在同一相量图上，不同频率的正弦量的相量不能画在同一相量图上，否则无法比较和计算。作相量图时，往往把坐标轴省略不画。13121212iiIIIIOABCOBiIIIIIOBiOBib用相量图求解先作出和的相量图和，以和为两邻边作一平行四边形，对角线就是总电流的相量（为了叙述方便，常将表示相量的矢量，即将的相量图，也用表示，且简称为相量），的长度代表电流的有效值，与横轴正方向的夹角即为总电流的初相位，如图（）所示。142.3正弦交流电路中的电阻元件一、电阻元件上电压与电流的关系u、i取关联参考方向，设i=Imsinωt∴u=Ri=RImsinωt=UmsinωtRUmmmmIRIU或u和i的有效值之间的关系为RIRIUUmm22RIU或电阻元件的电路图15结论：当电阻元件中通以正弦交流电流时，其端电压为一同频率的正弦量；当电压和电流取关联参考方向时，电压与电流的相位相同；电阻元件的电压和电流的瞬时值之比、幅值之比及有效值之比都等于电阻R。160UU0II相量形式IRRIUU00电阻元件的电压相量等于电阻乘以电流相量。相量电路模型：将电路中的所有正弦电压和电流都用对应的相量替代，将所有电路元件的参数都有复数表示所得的电路模型。电阻元件的相量模型电阻元件的电压和电流的相量图171．瞬时功率瞬时功率：电路在某一瞬时吸收或发出的功率，p。电路元件的瞬时功率等于元件端电压的瞬时值与元件中电流的瞬时值的乘积。u、i取关联参考方向，电阻元件所吸收的瞬时功率p=ui=UmImsin2ωt=UI（1－cos2ωt）电阻元件所吸收的瞬时功率p是随时间变化的。电阻元件R所吸收的瞬时功率恒为非负值。电阻元件是一个耗能元件。R元件的电压、电流和瞬时功率的波形图二、电阻元件的功率18平均功率：电路的瞬时功率在一个周期内的平均值，P，单位为瓦（W）。电阻元件的平均功率UIdttUIUIpdtTT00)2cos(T1P∵U=IRRU22RIUIP2．平均功率192.4正弦电路中的电感元件一、电感元件上电压与电流的关系u、i取关联参考方向，设电流i=Imsinωt)()(2tsinUtcosLItsinIdtdLdtdiLummm电感元件u和i的幅值之间的关系为LULIUmmmmI或u和i的有效值之间的关系为LIULI2LIUUmm或2电感元件的电路图20结论：当电感元件中的电流按正弦规律变化时，电感元件上的电压也将以同一频率按正弦规律变化。当电压和电流取关联参考方向时，电压在相位上超前于电流π/2。电感元件电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）之比值为ωL。21ωL：感抗，反映电感元件对正弦电流的抵抗能力，XL，单位Ω。XL=ωL=2πfL相量式2,0UUII电感元件电压与电流的相量关系式IjXLIjjUUUL2电感元件的相量模型电感元件的电压和电流的相量图22二、电感元件的功率1．瞬时功率在关联参考方向下，电感元件所吸收的瞬时功率为p=ui=UmImsinωtsin(ωt+π/2)=2UIsinωtcosωt=UIsin2ωt电感元件的电压、电流和瞬时功率的波形图在正弦交流电路中，电感元件吸收的瞬时功率是一个幅值为UI，角频率为2ω的正弦量。232．平均功率电感元件的平均功率为0tdtUIT1pdtT1PTT002sin电感元件在与外电路进行往返的能量交换的过程中并不消耗能量。电感元件是一个储能元件。243．无功功率衡量储能元件与电源之间进行能量交换的能力，表示能量交换的规模。无功功率引入无功功率：在正弦稳态电路中，储能元件与电源之间往返交换能量的最大速率，Q，单位为乏（var）。在正弦交流电路中,电感元件的无功功率等于其瞬时功率的最大值。LLLXUIXIUQ22252.5正弦电路中的电容元件一、电容元件上电流与电压关系u、i取关联参考方向，设电流i=Imsinωt电容元件两端的电压为u和i的幅值之间的关系为u和i的有效值之间的关系为CIUCUImmmm1或CIUCUUCIImm122或电容元件的电路图)()(2tsinItcosCUtsinUdtdCdtduCimmm26结论：当电容元件上的电压为正弦量时，其电流是一个同频率的正弦量。当电压和电流取关联参考方向时，电流在相位上超前于电压π/2。电容元件上的电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）之比值为1/ωC。电容元件的电压、电流和瞬时功率的波形图27容抗：反映电容元件对正弦电流的抵抗能力，XC，单位Ω。fCC1XC21电容元件电压和电流的相量式2,0IIUU电压与电流的相量关系IjXUjXC1jIUIUCC或20电容元件的相量模型电容元件的电压和电流的相量图281．瞬时功率在关联参考方向下，电容元件所吸收的瞬时功率为p=ui=UmImsinωtcosωt=2UIsinωtcosωt=UIsin2ωt在正弦交流电路中，电容元件吸收的瞬时功率是一个幅值为UI，角频率为2ωt的正弦量。电容元件的电压、电流和瞬时功率的波形图二、电容元件的功率29电容元件所吸收的平均功率为0tdtUIT1pdtT1pTT002sin电容元件在与外电路进行能量交换的过程中并不消耗能量。电容元件不是耗能元件，它也是一个储能元件。2．平均功率30电容元件的无功功率就是电容元件与电源之间往返交换能量的最大速率。C2CCXUIXUIQ2感性无功功率：电感元件的无功功率容性无功功率：电容元件的无功功率电容元件的无功功率等于其瞬时功率的最大值。3．无功功率312.6电阻、电感与电容串联的交流电路一、RLC串联交流电路中电压与电流的关系RLC串联的电路RLC串联电路的相量模型CLRuuuuCLRUUUU32各元件的电压与电流的相量关系IjXUIjXUIRUCCLLRIZIXXjRIjXIjXIRUUUUCLCLCLR)]([其中Z=R＋j(XL－XC)33Z的极坐标式式中ZXRXXRZCL2222)(RXXRXXRXXRZXXXCLCLCLarctanarctan)(2222sinZXcosZR阻抗三角形的幅角，阻抗角：抗，单位为的虚部，该电路中的电：阻，单位为的实部，该电路中的电：的模：复阻抗：电路的复阻抗ZZXZRZZZ34RLC串联电路：电压的有效值（或幅值）与电流有效值（或幅值）之比值等于电路复阻抗的模。在关联参考方向下，电压超前电流的相位角等于复阻抗的辐角。ZIUIUZZmmIU35二、电路的性质RLC串联电路的端电压与电流之间的相位关系取决于XL与XC的相对大小。IZIXXjRIjXIjXIRUCLCL)]([0,XX0,XX0,XXCLCLCL感性电路容性电路谐振电路362.7阻抗的串联与并联一、阻抗的串联阻抗的串联：若干个阻抗依次一个接一个地连接起来，构成一条电流通路的连接方式。阻抗的串联IZZZIZIZIZUUUUnnn)(......212121L由KVL，可得：IZU正弦交流电路中任意一个不含独立电源的二端网络都可以用一个阻抗来等效替代。37两电路的等效条件阻抗串联电路中第k个阻抗的电压nZZZZ...21阻抗串联电路的等效阻抗等于各个串联阻抗