2015年高中数学2.3幂函数教案新人教版必修1

12.3幂函数（教学设计）教学目的：1．通过实例，了解幂函数的概念．2．具体结合函数12132,,,,xyxyxyxyxy的图象，了解幂函数的变化情况．3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导．教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．一、新课导入先看五个具体的问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积2aS，这里S是a的函数；（3）如果立方体的边长为a，求立方体的体积3aV，这里V是a的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长21Sa，这里a是S的函数；（5）如果某人ts内骑车进行了1km，那么他骑车的平均速度1tvkm/s，这里v是t的函数．讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数．从上述函数中，我们观察到，它们都是形如yx的函数．二、师生互动，新课讲解：1、幂函数的定义一般地，函数xy)(Ra叫做幂函数（powerfunction），其中x是自变量，是常数．对于幂函数xy，我们只讨论1,21,3,2,1时的情形．2、幂函数的图象标系内作出幂函数xy；21xy；2xy；1xy；在同一直角坐3xy的图象．2观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．3、幂函数的性质1）．五个具体的幂函数的性质（1）函数xy；21xy；2xy；3xy和1xy的图象都通过点（1，1）；（2）函数xy；3xy；1xy是奇函数，函数2xy是偶函数；（3）在区间),0(上，函数xy，2xy，3xy和21xy是增函数，函数1xy是减函数；（4）在第一象限内，函数1xy的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．2）．一般的幂函数的性质（1）所有的幂函数xy在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数；1时，图象向上，靠近y轴；01，图景向上，靠近x轴；=1是条直线。（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴；（4）幂函数xy的图象，在第一象限内，直线1x的右侧，图象由下至上，指数由小到大；y轴和直线1x之间，图象由上至下，指数由小到大．课堂练习：已知幂函数xy在第一象限内的图象如图所示，且分别取11122，，，四个值，则相应于曲线1234CCCC，，，的的值依次为．xy2xy3xy21xy1xy定义域RRR),0[}0|{xx值域R),0[R),0[}0|{yy奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增增增公共点（1,1）3例1：（课本第78页例1）证明幂函数xxf)(在),0[上是增函数．变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）433.2，434.2；（2）5631.0，5635.0；（3）23)2(，23)3(；（4）211.1，219.0．例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：（1）3yx；（2）2yx；（3）12yx；（4）13yx解（1）函数3yx的定义域是R，它是奇函数；（2）函数2yx即21yx，其定义域是(,0)(0,)，它是偶函数；（3）函数12yx即yx，其定义域是[0,)，它既不是奇函数，也不是偶函数；（4）函数13yx即3yx，其定义域是R，它是奇函数．变式训练2：（1）.设11132a，，，，则使函数ayx的定义域为R且为奇函数的所有a值为（A）．(A)1，3(B)1，1(C)1，3(D)1，1，3（2）.若函数3()()fxxxR，则函数()yfx在其定义域上是（B）．(A)单调递减的偶函数(B)单调递减的奇函数(C)单调递增的偶函数(D)单调递增的奇函数（3）若幂函数f(x)的图象经过点(3，19)，则其定义域为()A．{x|x∈R，x0}B．{x|x∈R，x0}C．{x|x∈R，且x≠0}D．R4解析：设f(x)＝xα.∵图象过点(3，19)，∴19＝3α，即3－2＝3a，∴α＝－2，即f(x)＝x－2＝1x2，∴x2≠0，即x≠0.答案：C例3：在同一坐标系作出函数y=x2与y=2x的图象。变式训练3：已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.解析：∵幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－30，∴－1m3，又m∈N*，∴m＝1或2，当m＝1时，f(x)＝x－4，其图象关于y轴对称，符合；当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，不符合，∴m＝1.答案：1布置作业：A组：1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()解析：注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝＝x的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝1x，结合选项知，其图象应与④对应；图象①与y＝x3大致对应．综上述所述，选B.答案：B2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n(－15)n，则n＝__________.解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．答案：－1或23．（课本P79习题2.3NO:1）已知幂函数)(xfy的图象过点)2,2(，试求出这个函数的解析式．4．(课本P79习题2.3NO:2)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）5与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．（1）写出气流流量速率v关于管道半径r的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm3/s）．5．讨论函数32xy的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说出函数的单调性．6．已知函数f(x)＝2x－xm，且f(4)＝－72.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)∵f(4)＝－72，∴24－4m＝－72.∴m＝1.(2)f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(2x1－x1)－(2x2－x2)＝(x2－x1)(2x1x2＋1)．∵0x1x2，∴x2－x10，2x1x2＋10.∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，即f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减．B组：1．如果幂函数f(x)＝(p∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－12p2＋p＋320，即p2－2p－30.∴－1p3，又∵f(x)是偶函数且p∈Z.∴p＝1，故f(x)＝x2.