2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第1讲简单几何体的结构三视图和直观图

第八章立体几何第1讲简单几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的三视图不可能是圆和正方形．答案B2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()[来源:学&科&网Z&X&X&K]解析由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为22.答案A3．将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的左视图为()．解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．答案B4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．解析A，B的主视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答案D5．下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是()．解析∵在这个正方体的展开图中，与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后，这三条直线互相平行，∴选B.答案B6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()．解析选项C不符合三视图中“宽相等”的要求．答案C二、填空题7.如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________(填序号)．解析B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应分别在边CC1和DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．答案②8．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．解析显然，三棱锥、圆锥的主视图可以是三角形；三棱柱的主视图也可以是三角形(把三棱柱放倒，使一侧面贴在地面上，并让其底面面对我们，如图所示)；只要形状合适、摆放适当(如一个侧面正对着观察者的正四棱锥)，四棱锥的主视图也可以是三角形(当然，不是任意摆放的四棱锥的主视图都是三角形)，即主视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥；不论四棱柱、圆柱如何摆放，主视图都不可能是三角形(可以验证，随意摆放的任意四棱柱的主视图都是四边形，圆柱的主视图可以是圆或四边形)．综上所述，应填①②③⑤.答案①②③⑤9．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上正确结论的序号是________．解析由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案①10．图(a)为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成；图(b)中的三视图表示的实物为________．图(a)图(b)解析(1)由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判断几何体共由4块长方体组成．(2)由三视图可知几何体为圆锥．答案4圆锥三、解答题11．已知：图a是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图b是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解图a几何体的三视图为：图b所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．12．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x.∵△VA1C1∽△VMN，∴2x2r＝h－xh，∴x＝2rh2r＋2h.即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h.13．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解析(1)设圆柱的高为h，由题意可知，4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2.S＝2πrh＋πr2＝πr(2.4－3r)＝3π[－(r－0.4)2＋0.16]，其中0＜r＜0.6.∴当半径r＝0.4米时，Smax＝0.48π≈1.51(平方米)．(2)由r＝0.3及2r＋h＝1.2，得圆柱的高h＝0.6(米)．则灯笼的三视图为：14．(1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，那么该三棱锥的左视图是图2还是图3?(2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？(3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？解(1)该三棱锥在右投影面上的投影是一直角三角形，该三棱锥的左视图应是图2.(2)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中OA、OB、OC两两垂直，∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是锐角三角形．设AO＝a，OC＝c，OB＝b，则AC＝a2＋c2，BC＝c2＋b2，AB＝a2＋b2，∴cos∠BAC＝a2a2＋b2·c2＋a20，∴∠BAC为锐角．同理，∠ABC、∠ACB也是锐角．综上所述，该几何体的面中共有三个直角三角形．(3)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中，AB⊥BC，AB⊥BD，BD⊥CD，∴DC⊥面ABD，∴DC⊥AD，∴△ACD也是直角三角形．∴该几何体的面中共有四个直角三角形.