2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第4讲二元一次不等式(组)与简单的线性

第4讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1．不等式2x－y≥0表示的平面区域是()解析取测试点(1,0)，排除B、D，又边界应为实线，故排除C.答案A2．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)则z＝OM→·OA→的最大值为()．A．42B．32C．4D．3解析如图作出区域D，目标函数z＝2x＋y过点B(2，2)时取最大值，故z的最大值为2×2＋2＝4，故选C.答案C3．若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()．A．(－∞，5)B．[7，＋∞)C．[5,7)D．(－∞，5)∪[7，＋∞)解析画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a7.答案C4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，消耗A原料不超过13吨，消耗B原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是()．A．1吨B．2吨C．3吨D.113吨解析设该企业在这个生产周期内生产x吨甲产品，生产y吨乙产品，x、y满足的条件为3x＋y≤13，2x＋3y≤18，x≥1，y≥2.所获得的利润z＝x＋3y，作出如图所示的可行域．作直线l0：x＋3y＝0，平移直线l0，显然，当直线经过点A1，163时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨．答案A5．实数x，y满足x≥1，y≤aa1，x－y≤0，若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为()．A．4B．3C．2D.32解析作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.答案C6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()．A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元解析设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为x＋2y≤12，2x＋y≤12，x≥0且y∈Z，y≥0且y∈Z，目标函数z＝300x＋400y.作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由2x＋y＝12，x＋2y＝12，得B(4,4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2800.答案C二、填空题7．若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，x＋3y－3≥0，则z＝3x－y的最小值为________．解析画出可行域，如图所示，将直线y＝3x－z移至点A(0,1)处直线在y轴上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1.答案－18．若x，y满足约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3，则x－y的取值范围是________．解析记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小值－3.答案[－3,0]9．设实数x、y满足x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，则yx的最大值是________．解析不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设yx＝t，则y＝tx，求yx的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．显然y＝tx过A点时，t最大．由x＋2y－4＝0，2y－3＝0，解得A1，32.代入y＝tx，得t＝32.所以yx的最大值为32.答案3210．设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．解析目标函数z＝x＋my可变为y＝－1mx＋zm，∵m1，∴－1－1m0，z与zm同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P1m＋1，mm＋1时，取最大值，∴1m＋1＋m2m＋12，又m1，得1m1＋2.答案(1,1＋2)三、解答题11．画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x、y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈－52，3，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知－x≤y≤x＋5，－52≤x≤3，且x∈Z，当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．12．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0，目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2、随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8，得x＝4，y＝6，此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．13．若x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2，(1)求目标函数z＝12x－y＋12的最值．(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．解(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线12x－y＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.∴z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1－a22，解得－4a2.故所求a的取值范围是(－4,2)．14．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？项目用量产品工人(名)资金(万元)甲420乙85解(1)依题意得P甲－P乙＝0.25，1－P甲＝P乙－0.05，解得P甲＝0.65，P乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x、y应满足的约束条件为4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0.65x＋0.4y.作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l0：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，此时z取得最大值．解方程组x＋2y＝8，4x＋y＝11，得x＝2，y＝3.故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x＝2，y＝3时，z取最大值为2.5.