2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第4讲古典概率模型

第4讲古典概率模型一、选择题1．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()．A.112B.512C.712D.56解析由题意知，基本事件有A242＝12个，满足条件的基本事件就一个，故所求概率为P＝112.答案A2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()．A.15B.310C.25D.12解析基本事件有C25＝10个，其中为同色球的有C23＋C22＝4个，故所求概率为410＝25.答案C3．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是()A.15B.24125C.96125D.48125解析所有事件数为55，符合要求的事件数为C15C25A34，所以所求概率为C15C25A3455＝48125，故选D.答案D4．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为()．A．12B．18C．24D．32解析设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以x2x－6＝23，得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人，故选B.答案B5．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为()A．3B．4C．2和5D．3和4解析事件Cn的总事件数为6.只要求出当n＝2,3,4,5时的基本事件个数即可．当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点为(1,1)；当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点为(1,2)、(2,1)；当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点为(1,3)、(2,2)；当n＝5时，落在直线x＋y＝5上的点为(2,3)．显然当n＝3,4时，事件Cn的概率最大，为13.答案D6．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋40成立的事件发生的概率为()．A.18B.316C.14D.12解析由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋40的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为14.答案C二、填空题7．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．解析由题意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝13.答案138．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是________．解析∵m，n均为不大于6的正整数，∴当点A(m，n)位于直线y＝x上及其下方第一象限的部分时，满足θ∈0，π2的点A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，点A(m，n)的基本事件总数为6×6＝36，故所求概率为2136＝712.答案7129．an＝6n－4(n＝1,2,3,4,5,6)构成集合A，bn＝2n－1(n＝1,2,3,4,5,6)构成集合B，任取x∈A∪B，则x∈A∩B的概率是________．解由题意知A＝{2,8,14,20,26,32}．[来B＝{1,2,4,8,16,32}．则A∪B＝{1,2,4,8,14,16,20,26,32}，A∩B＝{2,8,32}．即A∪B中含有9个元素，A∩B中含有3个元素，所以所求概率是39＝13.答案1310．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．解析根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有C23C13C12个，故所求概率为C23C13C12C233＝23.答案23三、解答题11．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}．(1)若M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，用列举法表示集合M；(2)在(1)中的集合M内，随机取出一个元素(x，y)，求以(x，y)为坐标的点位于区域D：x－y＋2≥0x＋y－2≤0内的概率.y≥－1解(1)M＝{(－2，－1)，(－2,1)，(0，－1)，(0,1)，(2，－1)，(2,1)}．(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域D内”为事件C.集合M中共有6个元素，即基本事件总数为6，区域D含有集合M中的元素(－2，－1)，(0，－1)，(0,1)，(2，－1)，共4个，所以P(C)＝46＝23.故以(x，y)为坐标的点位于区域D内的概率为23.12．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差s2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩共有C25＝10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.13．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．解(1)若编号为n的球的重量大于其编号．则n2－6n＋12n，即n2－7n＋120.解得n3或n4.∴n＝1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝46＝23.(2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形共有C26＝15种．设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为(1,5)，(2,4)，共2种情形．由古典概型，所求事件的概率为215.14．某省实验中学共有特级教师10名，其中男性6名，女性4名，现在要从中抽调4名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调．(1)求抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师的概率；(2)若抽到的女教师的人数为ξ，求P(ξ≤2)．解由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种情况：①若甲和乙都不被抽调，有C48种方法；②若甲和乙中只有一人被抽调，有C12C38种方法，故从10名教师中抽调4人，且甲和乙不同时被抽调的方法总数为C48＋C12C38＝70＋112＝182.这就是基本事件总数．(1)记事件“抽调的4名教师中含有女教师丙，且恰有2名男教师，2名女教师”为A，因为含有女教师丙，所以再从女教师中抽取一人，若抽到的是女教师乙，则男教师甲不能被抽取，抽调方法数是C25；若女教师中抽到的不是乙，则女教师的抽取方法有C12种，男教师的抽取方法有C26种，抽调的方法数是C12C26.故随机事件“抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师”含有的基本事件的个数是C25＋C12C26＝40.根据古典概型概率的计算公式得P(A)＝40182＝2091.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4，所以P(ξ≤2)＝1－P(ξ2)＝1－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)，若ξ＝3，则选出的4人中，可以含有女教师乙，这时取法为C23C15种，也可以不含女教师乙，这时有C33C16种，故P(ξ＝3)＝C23C15＋C33C16182＝21182＝326；若ξ＝4，则选出的4名教师全是女教师，必含有乙，有C44种方法，故P(ξ＝4)＝C44182＝1182，于是P(ξ≤2)＝1－21182－1182＝160182＝8091.