2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第5讲指数与指数函数

第5讲指数与指数函数一、选择题1．已知a＝21.2，b＝12－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为()．A．cbaB．cabC．bacD．bca解析a＝21.22，而b＝12－0.8＝20.8，所以1b2，c＝2log52＝log541，所以cba.答案A2．函数y＝12x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是()．解析函数y＝12x＋1的图象如图；作其关于直线y＝x的对称图象，可知选A.答案A3．不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是()．A.1，－12B.1，12C.－1，－12D.－1，12解析y＝(a－1)2x－a2＝a2x－12－2x，令2x－12＝0，得x＝－1，则函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点－1，－12.答案C4．已知函数f(x)＝ax＋logax(a0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()．A.12B.14C．2D．4解析由题意知f(1)＋f(2)＝loga2＋6，即a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)．答案C5．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是下图中的()．解析函数f(x)＝(k－1)ax－a－x为奇函数，则f(0)＝0，即(k－1)a0－a0＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－a－x，又f(x)＝ax－a－x为减函数，故0a1，所以g(x)＝loga(x＋2)为减函数且过点(－1,0)．答案A6．设函数f(x)＝2x1＋2x－12，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是()．A．{0,1}B．{0，－1}C．{－1,1}D．{1,1}解析由f(x)＝2x1＋2x－12＝1－11＋2x－12＝12－11＋2x，由于(2x＋1)在R上单调递增，所以－11＋2x在R上单调递增，所以f(x)为增函数，由于2x＞0，当x→－∞，2x→0，∴f(x)＞－12，当x→＋∞，11＋2x→0，∴f(x)＜12，∴－12＜f(x)＜12，∴y＝[f(x)]＝{0，－1}．答案B二、填空题7．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为________．解析∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)f(n)得mn.答案mn8．已知函数f(x)＝ax，x0，a－3x＋4a，x≥0，满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，则a的取值范围是________．解析对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则0a1，且(a－3)×0＋4a≤a0，解得0a≤14.答案0，149．若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若0a1，显然y＝ax与y＝x＋a的图象只有一个公共点；若a1，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示．答案(1，＋∞)10．已知f(x)＝x2，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．解析x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈122－m，120－m，即g(x2)∈14－m，1－m，要使∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需f(x)min≥g(x)min，即0≥14－m，故m≥14.答案14，＋∞三、解答题11．已知函数f(x)＝2x－12x＋1.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求证f(x)在R上为增函数．(1)解因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝2x－12x＋1＝1－22x＋1，所以f(－x)＋f(x)＝1－22－x＋1＋1－22x＋1＝2－22x＋1＋22－x＋1＝2－22x＋1＋2·2x2x＋1＝2－22x＋12x＋1＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)证明设x1，x2∈R，且x1x2，有f(x1)－f(x2)＝2x1－12x1＋1－2x2－12x2＋1＝22x1－2x22x1＋12x2＋1，∵x1x2,2x1－2x20,2x1＋10,2x2＋10，∴f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)求f(x)；(2)若不等式(1a)x＋(1b)x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．解析(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得6＝ab，24＝b·a3.结合a0且a≠1，解得a＝2，b＝3.∴f(x)＝3·2x.(2)要使(12)x＋(13)x≥m在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝(12)x＋(13)x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．∵函数y＝(12)x＋(13)x在(－∞，1]上为减函数，∴当x＝1时，y＝(12)x＋(13)x有最小值56.∴只需m≤56即可．∴m的取值范围(－∞，56]13．若函数y＝a·2x－1－a2x－1为奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域．解析∵函数y＝a·2x－1－a2x－1，∴y＝a－12x－1.(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即a－12－x－1＋a－12x－1＝0，∴2a＋1－2x1－2x＝0，∴a＝－12.(2)∵y＝－12－12x－1，∴2x－1≠0，即x≠0.∴函数y＝－12－12x－1的定义域为{x|x≠0}．(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.∵2x－1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.∴－12－12x－1＞12或－12－12x－1＜－12.即函数的值域为{y|y＞12或y＜－12}．14．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．解(1)当x0时，f(x)＝0，无解；当x≥0时，f(x)＝2x－12x，由2x－12x＝32，得2·22x－3·2x－2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－12，∵2x0，∴x＝1.(2)当t∈[1,2]时，2t22t－122t＋m2t－12t≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－10，∴m≥－(22t＋1)，∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．