2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第6讲双曲线

第6讲双曲线一、选择题1．若动点P到F1(－5,0)与到F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1B.x225－y216＝1C.x216＋y29＝1D.x216－y29＝1解析由题意知P点的轨迹是双曲线．因为c＝5，a＝4，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9.因为双曲线的焦点在x轴上，所以P点的轨迹方程为x216－y29＝1.答案D2．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()．A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1解析不妨设a0，b0，c＝a2＋b2.据题意，2c＝10，∴c＝5.①双曲线的渐近线方程为y＝±bax，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝2ba.②由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.答案A3．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为()．A．－2B．－8116C．1D．0解析设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有y23＝x2－1，y2＝3(x2－1)，PA1→·PF2→＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4x－182－8116，其中x≥1.因此，当x＝1时，PA1→·PF2→取得最小值－2，选A.答案A4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()．A．3B．2C.3D.2解析设双曲线的方程为x2a21－y2b21＝1，椭圆的方程为x2a22＋y2b22＝1，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a2＝2a1，又e1＝ca1，e2＝ca2，所以e1e2＝a2a1＝2.答案B5．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.2B.3C．2D．3解析不妨设双曲线的焦点在x轴上(焦点在y轴上的离心率与焦点在x轴上的离心率一样)，方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，设F(c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由l过点F且与对称轴垂直，可得x1＝x2＝c，将其代入双曲线的方程得|y1|＝|y2|＝b2a，故|AB|＝2b2a，依题意，|AB|＝2a×2＝4a，∴2b2a＝4a，化简整理得b2＝2a2，解得e＝3.答案B6．已知双曲线x24－y2b2＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()．A.5B．42C．3D．5解析易求得抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线x24－y2b2＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±52x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为52×31＋54＝5.答案A二、填空题7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析由题意得m＞0，∴a＝m，b＝m2＋4.∴c＝m2＋m＋4，由e＝ca＝5，得m2＋m＋4m＝5，解得m＝2.答案28．已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．解析由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEFπ4即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝b4a2，取点A－c，b2a，则|AF|＝b2a，|EF|＝a＋c，只要|AF||EF|就能使∠AEFπ4，即b2aa＋c，即b2a2＋ac，即c2－ac－2a20，即e2－e－20，即－1e2.又e1，故1e2.答案(1,2)9．如图，双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值S1S2＝________.解析(1)由题意可得ab2＋c2＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝3＋52，∴e＝1＋52.(2)设sinθ＝bb2＋c2，cosθ＝cb2＋c2，S1S2＝2bc4a2sinθcosθ＝2bc4a2bcb2＋c2＝b2＋c22a2＝e2－12＝2＋52.答案(1)1＋52(2)2＋5210．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若|PA→|－|PB→|＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若OP→＝12(OA→＋OB→)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x225－y29＝1与椭圆x235＋y2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析①错误，当k＞0且k＜|AB|，表示以A、B为焦点的双曲线的一支；当k＞0且k＝|AB|时表示一条射线；当k＞0且k＞|AB|时，不表示任何图形；当k＜0时；类似同上．②错误，P是AB中点，且P到圆心与A的距离的平方和为定值．故P的轨迹应为圆．③方程两根为12和2，可以作为椭圆和双曲线的离心率，故正确．④由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(±34，0)，故正确．答案③④三、解答题11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1→·MF2→＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解∵e＝2，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明法一由(1)知a＝b＝6，c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，∴kMF1·kMF2＝m29－12＝m2－3，又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，MF1→·MF2→＝0.法二∵MF1→＝(－3－23，－m)，MF2→＝(23－3，－m)，∴MF1→·MF2→＝(3＋23)(3－23)＋m2＝－3＋m2.∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，∴m2＝3，∴MF1→·MF2→＝0.(3)解∵在△F1MF2中，|F1F2|＝43，且|m|＝3，∴S△F1MF2＝12·|F1F2|·|m|＝12×43×3＝6.12．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，|PF1|＝8，|PF2|＝6.(1)求双曲线的方程；(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A，B两点，且F1A→＝2F1B→，求此直线方程．解(1)由题意知，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2，即2c＝82＋62＝10，所以c＝5.由椭圆的定义，知2a＝|PF1|－|PF2|＝8－6＝2，即a＝1.所以b2＝c2－a2＝24，故双曲线的方程为x2－y224＝1.(2)左焦点为F1(－5,0)，两渐近线方程为y＝±26x.由题意得过左焦点的该直线的斜率存在．设过左焦点的直线方程为y＝k(x＋5)，则与两渐近线的交点为5k26－k，106k26－k和－5kk＋26，106kk＋26.由F1A→＝2F1B→，得5k26－k＋5，106k26－k＝2－5kk＋26＋5，106kk＋26或者－5kk＋26＋5，106kk＋26＝25k26－k＋5，106k26－k，解得k＝±263.故直线方程为y＝±263(x＋5)．13．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值．解(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a·y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.(2)联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设OC→＝(x3，y3)，OC→＝λOA→＋OB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又C为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得λ2(x21－5y21)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.14．如图所示，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(b＞a＞0)且a∈[1,2]，它的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A、B.过F2作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，交双曲线于P，Q两点．(1)求证：直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直；(2)若M为PF2的中点，O为坐标原点，|OM|－|MT|＝1，|PQ|＝λ|AB|，求实数λ的取值范围．[来源:学科网ZXXK]解(1)证明：双曲线x2a2－y2b2＝1(b＞a＞0)的渐近线为y＝±bax，设直线PQ的方程为y＝k(x－c)(不妨设k＜0)，由于直线PQ与圆x2＋y2＝a2相切，∴|kc|k2＋1＝a，即k2＝a2b2，直线PQ的斜率k＝－ab.因为第一、三象限的渐近线的斜率为ba，∴－ab·ba＝－1.所以直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直．(2)由y＝kx－c，x2a2－y2b2＝1，得(b2－a2k2)x2＋2a2k2cx－a2k2c2－a2b2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－2a2k2cb2－a2k2，x1x2＝－a2k2c2－a2b2b2－a2k2，所以|PQ|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝2ab21＋k2|b2－a2k2|＝2ab2b2－a2.因为|OM|＝12|PF1|，|F2M|＝12|PF2|，∴|F2M|－|OM|＝12(|PF2|－|PF1|)＝a，|OM|－|MT|＝1，代入上式得|F2M|－|MT|＝a＋1.又|F2M|－|MT|＝|F2T|＝c2－a2＝b，所以b＝a＋1.因为|AB|＝2a，|PQ|＝2ab2b2－a2，λ＝b2b2－a2＝a＋122a＋1＝a22a＋1＋1.令t＝2a＋1，则a＝t－12，t∈[3,5]，所以λ＝14t＋1t－2＋1，设y＝t＋1t，因为t＋1t在[3,5]上为增函数，所以λ∈43，95.