2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第七章7.5

§7.5综合法与分析法、反证法1．综合法(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．(2)框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．2．分析法(1)定义：从求证的结论出发，一步步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．(2)框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.3．反证法我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进而推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”．(×)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(×)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(√)(6)证明不等式2＋73＋6最合适的方法是分析法．(√)2．若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A．ac2bc2B．a2abb2C.1a1bD.baab答案B解析a2－ab＝a(a－b)，∵ab0，∴a－b0，∴a2－ab0，∴a2ab.①又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，②由①②得a2abb2.3．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x0)，则a与b的大小关系为()A．abB．abC．a＝bD．a≤b答案A解析a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex，当x0时，0b1，∴ab.4．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数答案B解析自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．5．如果aa＋bbab＋ba，则a、b应满足的条件是__________________________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析∵aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)0.故aa＋bbab＋ba成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.题型一综合法的应用例1对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝x(x∈[0,1])是否是理想函数．思维启迪(1)取特殊值代入计算即可证明；(2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论．(1)证明取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.(2)解对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数．对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．对于f(x)＝x，x∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2x1x2＋x2)＝－2x1x2≤0，即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.∴f(x)＝x(x∈[0,1])不是理想函数．综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝x(x∈[0,1])不是理想函数．思维升华用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式．(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．定义：若数列{An}满足An＋1＝A2n，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图像上，其中n为正整数，证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”．证明∵点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图像上，∴an＋1＝2a2n＋2an，∴2an＋1＋1＝4a2n＋4an＋1＝(2an＋1)2，∴{2an＋1}是“平方递推数列”．题型二分析法的应用例2已知m0，a，b∈R，求证：(a＋mb1＋m)2≤a2＋mb21＋m.思维启迪将要证分式化成整式，再合并同类项．证明∵m0，∴1＋m0.所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．思维升华分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立．通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)13(a2＋b2)12.证明因为a，b∈(0，＋∞)，所以要证原不等式成立，只需证[(a3＋b3)13]6[(a2＋b2)12]6，即证(a3＋b3)2(a2＋b2)3，即证a6＋2a3b3＋b6a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，只需证2a3b33a4b2＋3a2b4.因为a，b∈(0，＋∞)，所以即证2ab3(a2＋b2)．而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab2ab成立，以上步骤步步可逆，所以(a3＋b3)13(a2＋b2)12.题型三反证法的应用例3已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．思维启迪(1)先利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)两式相减得an和an＋1的关系，再求an；(2)用反证法证明．(1)解当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝12an，所以{an}是首项为1，公比为12的等比数列，所以an＝12n－1.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(pqr，且p，q，r∈N＋)，则2·12q＝12p＋12r，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为pqr，所以r－q，r－p∈N＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．思维升华(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B90°.证明假设∠B90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即ba，bc.∴1a1b，1c1b，相加得1a＋1c1b＋1b＝2b，这与1a＋1c＝2b矛盾．故∠B≥90°不成立，即∠B90°.混淆特殊值检验和一般性证明致误典例：(12分)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称，求证：f(x＋12)为偶函数．易错分析在证明f(x＋12)是偶函数时，用特殊值f(32＋12)＝f(－32＋12)成立来判断f(x＋12)是偶函数．规范解答证明由函数f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称，可知f(x＋1)＝f(－x)．[4分]将x换成x－12代入上式可得f(x－12＋1)＝f[－(x－12)]，即f(x＋12)＝f(－x＋12)，[10分]由偶函数的定义可知f(x＋12)为偶函数．[12分]温馨提醒在证明数学命题时，必须通过严格的推理来证明对任意满足题意的条件，命题的结论都成立，特殊值的检验不能代替一般性的证明．方法与技巧1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．失误与防范1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab2b2D.aba＋1b＋1答案B解析在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．2．在△ABC中，sinAsinCcosAcosC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案C解析由sinAsinCcosAcosC得，cosAcosC－sinAsinC0，即cos(A＋C)0，∴A＋C是锐角，从而Bπ2，故△ABC必是钝角三角形．3．已知m1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是()A．abB．abC．a＝bD．a，b大小不定答案B解析∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋mm＋m－1，∴1m＋1＋m1m＋m－1，即ab.4．已知a0，b0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2B．22C．4D．5答案C解析因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝2(1ab＋ab)≥4.当且仅当1a＝1b且1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”．5．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()A．a，b都能被3