2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-4坐标系与参数方程

选修4－4坐标系与参数方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做________，从O点引一条射线Ox，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝______，y＝________.另一种关系为ρ2＝________，tanθ＝________.2．简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程θ＝α(ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线；ρcosθ＝a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；ρsinθ＝b表示过b，π2且平行于极轴的直线；ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程．(2)圆的极坐标方程ρ＝2rcosθ表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆；ρ＝2rsinθ表示圆心在r，π2，半径为|r|的圆；ρ＝r表示圆心在极点，半径为|r|的圆．3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数x＝ft，y＝gt.并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t称为________．4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t为参数)．(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为________________________(θ为参数)．(3)椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为________________(θ为参数)．(4)抛物线方程y2＝2px(p0)的参数方程为________________(t为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2，y＝4t(t为参数)上，则PF＝________.4．直线x＝－1＋tsin40°，y＝3＋tcos40°(t为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C的参数方程是x＝3t，y＝2t2＋1(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是________．题型一极坐标与直角坐标的互化例1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．题型二参数方程与普通方程的互化例2已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，求它们的交点坐标．思维升华(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin2θ＋cos2θ＝1,1＋tan2θ＝1cos2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝2t21＋t2，y＝4－2t21＋t2(t为参数)；(2)x＝2－4cos2θ，y＝－1＋sin2θ(θ为参数)．题型三极坐标、参数方程的综合应用例3在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，直线l的参数方程是x＝－3＋32t，y＝12t(t为参数)，M，N分别为曲线C、直线l上的动点，求MN的最小值．思维升华涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π4＝22.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，y＝b2t3＋1(t∈R为参数)，求a，b的值．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l的参数方程为x＝12t，y＝22＋32t(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB.易错分析不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误．规范解答解(1)直线的参数方程可以化为x＝tcos60°，y＝22＋tsin60°，[2分]根据直线参数方程的意义，直线l经过点(0，22)，倾斜角为60°.[4分](2)直线l的直角坐标方程为y＝3x＋22，[6分]ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x－22)2＋(y－22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l的距离d＝64.所以AB＝102.[10分]温馨提醒对于直线的参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)来说，要注意t是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程x＝acosφ，y＝bsinφ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝1cos2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．失误与防范1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A组专项基础训练1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2tan2θ，y＝2tanθ(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．已知曲线C的参数方程为x＝sinα，y＝cos2α，α∈[0,2π)，曲线D的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－2.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(2，π4)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为x＝1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．4．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－π6上的动点，试求PQ的最大值．5．在极坐标系中，已知三点M2，－π3、N(2,0)、P23，π6.(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝12x，y′＝13y后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．B组专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的极坐标．2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π)．4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．答案要点梳理1．(1)极点极轴极径(2)ρcosθρsinθx2＋y2yx3．参数方程参数4．(1)x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(2)x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθ(3)x＝acosθy＝bsinθ(4)x＝2pt2y＝2pt夯基释疑1．432.x2＋y2－2x－y＝03.44.50°5.M1题型分类·深度剖析例1解(1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cosθ＋32sinθ)＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N(233，π2)．(2)M点的直角坐标为(2,0)．N点的直角坐标为(0，233)．所以P点的直角坐标为(1，33)．则P点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．跟踪训练1解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a|32＋42＝1，解得a＝－8或a＝2.故a的值为－8或2.例2解将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x25＋y2＝1(0≤y≤1，－5x≤5)和y2＝45x，联立解得交点为1，255.跟踪训练2解(1)∵x＝2t21＋t2，∴y＝4－2t21＋t2＝41＋t2－6t21＋t2＝4－3×2t21＋t2＝4－3x.又x＝2t21＋t2＝21＋t2－21＋t2＝2－21＋t2∈[0,2)．∴x∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x＋y－4＝