2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量的数量积

第3讲平面向量的数量积一、选择题1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B.答案B2．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.22B.12C．0D．－1解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cosθ·2cosθ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos2θ＝2cos2θ－1.答案C3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．2D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案D4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为()A．60°B．30°C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b，∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos60°＝3|a|2，∴|c|＝3|a|，又a·c＝a·(－a－b)＝－|a|2－a·b＝－|a|2－|a||b|cos60°＝－32|a|2.设a与c的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a||c|＝－32|a|2|a|·3|a|＝－32，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.答案D5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OA→＝(2,2)，OB→＝(4,1)，在x轴上取一点P，使AP→·BP→有最小值，则P点的坐标是()．A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析设P点坐标为(x,0)，则AP→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)．AP→·BP→＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，AP→·BP→有最小值1.∴此时点P坐标为(3,0)，故选C.答案C6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ·β.若平面向量a，b满足|a|≥|b|0，a与b的夹角θ∈0，π4，且ab和ba都在集合n2|n∈Z中，则ab＝()．A.12B．1C.32D.52解析由定义αβ＝α·ββ2可得ba＝a·ba2＝|a|·|b|cosθ|a|2＝|b|cosθ|a|，由|a|≥|b|0，及θ∈0，π4得0|b|cosθ|a|1，从而|b|cosθ|a|＝12，即|a|＝2|b|cosθ.ab＝a·bb2＝|a|·|b|cosθ|b|2＝|a|cosθ|b|＝2cos2θ，因为θ∈0，π4，所以22cosθ1，所以12cos2θ1，所以12cos2θ2.结合选项知答案为C.答案C二、填空题7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．解析以AB→，AD→为基向量，设AE→＝λAB→(0≤λ≤1)，则DE→＝AE→－AD→＝λAB→－AD→，CB→＝－AD→，所以DE→·CB→＝(λAB→－AD→)·(－AD→)＝－λAB→·AD→＋AD→2＝－λ×0＋1＝1.又DC→＝AB→，所以DE→·DC→＝(λAB→－AD→)·AB→＝λAB→2－AD→·AB→＝λ×1－0＝λ≤1，即DE→·DC→的最大值为1.答案118．在平行四边形ABCD中，∠A＝π3，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是________．解析建立平面直角坐标系，如图．则B(2,0)，C52，32，D12，32.令BMBC＝CNCD＝λ，则Mλ2＋2，32λ，N52－2λ，32.∴AM→·AN→＝λ2＋2·52－2λ＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴AM→·AN→∈[2,5]．答案[2,5]9．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．解析由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1，又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0，则a·c＝b·c＝－1，由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案410．若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．解析由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－98，当且仅当2a＝－b时取等号．答案－98三、解答题11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝7.(1)求a，b夹角的大小；(2)求|3a＋b|的值．解(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝12，∴|a||b|cosθ＝12，即cosθ＝12，又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为π3.(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝13.12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．解(1)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.13．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解由已知得e21＝4，e22＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7.欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－12.设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，∴2t＝λ，7＝tλ，∴2t2＝7.∴t＝－142，此时λ＝－14.即t＝－142时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是－7，－142∪－142，－12.14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝cos3A2，sin3A2，n＝cosA2，sinA2，且满足|m＋n|＝3.(1)求角A的大小；(2)若|AC→|＋|AB→|＝3|BC→|，试判断△ABC的形状．解(1)由|m＋n|＝3，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2cos3A2cosA2＋sin3A2sinA2＝3，∴cosA＝12.∵0Aπ，∴A＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB→|＝3|BC→|，∴sinB＋sinC＝3sinA，∴sinB＋sin2π3－B＝3×32，即32sinB＋12cosB＝32，∴sinB＋π6＝32.∵0B2π3，∴π6B＋π65π6，∴B＋π6＝π3或2π3，故B＝π6或π2.当B＝π6时，C＝π2；当B＝π2时，C＝π6.故△ABC是直角三角形.