2机械控制工程基础第二章答案

习题2.1什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,xo表示系统输出,xi表示系统输入,哪些是线性系统?(1)xxxxxioooo222(2)xtxxxiooo222(3)xxxxio222oo(4)xtxxxxiooo222o解:凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。2.2图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。图(题2.2)解:(1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有xmxcxxcioo2o1)(即xcxccxmi121oo)((2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有)1()()(1xxckxxoi)2()(2xkxxcoo消除中间变量有xckxkkxkkcio121o21)((3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有xkxxkxxcooioi21)()(即xkxcxkkxciioo121)(2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。图（题2.3）解:(1)对图(a)所示系统,设i1为流过R1的电流,i为总电流,则有idtCiRuo122iRuuoi11dtiiCuuoi)(111消除中间变量,并化简有uRCuCCRRuRCuRCuCCRRuRCiiiooo12211221222121211)()1(1(2)对图(b)所示系统，设i为电流，则有idtCiRuuoi111iRidtCuo221消除中间变量,并化简有uCuRuCCuRRiioo2221211)11()(2.4求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。解：设系统输入为M（即），输出(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：)(xRRkCJMmxcxmxRk)(消除中间变量x,即可得到系统动力学方程KMMcMmCRckKJcCkmRcJmCmJmmm）（22)()()4(2.5输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)=2x(t)+0.5x3(t)。（1）求当工作点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态时输出值；（2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型。解:(1)将xo=0,xo=1,xo=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x3(t)中,即当工作点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态输出值分别为0yo,5.20y,8yo。(2)根据非线性系统线性化的方法有，在工作点)(,yxoo附近,将非线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得xxxxyyxxoooo|)5.12(5.0223xxyxxo|)5.12(2若令xx,yy有xxy)5.12(20当工作点为0xo时,xxxy2)5.12(20当工作点为1xo时,xxxy5.3)5.12(20当工作点为2xo时,xxxy8)5.12(202.6已知滑阀节流口流量方程式为pcwxQv2，式中．Q为通过节流阀流口的流量；p为节流阀流口的前后油压差；xv为节流阀的位移量；c为疏量系数；w为节流口面积梯度；为油密度。试以Q与p为变量（即将Q作为P的函数）将节流阀流量方程线性化。解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q=F(xv，p)在预定工作点F(xo，po)处按泰勒级数展开为ppxxpxxFpxFQovoPFvovovovo),()(),()(),(消除高阶项，有ppxxpxxFpxFQovoPFvovovovo),()(),()(),(),(),(pxFpxFQovov),(),()(),()(),(pxFppxxpxxFpxFovoovoPFvovovovoppxxpxxFovoPFvovov),()(),()(若令）（pxxFKovov,|)(1，）（pxFKovo,|)p(2，pKxKQv21将上式改写为增量方程的形式pKxKQv212.7已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s)。（1）)(2)()(500)(50)(15)(trtrtytytyty（2）)(5.0)(25)(5trtyty（3）)(5.0)(25)(trtyty（4）)(4)(4)(6)(3)(trdttytytyty解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。(1))(2)()(500)(50)(15)(223ssRsRssYssYsYssYs50050152)(/)(222ssssssRsY(2))(5.0)(25)(52ssRssYsYsssssRsY2555.0)(/)(2(3))(5.0)(25)(2sRsSYSYssssRSY255.0)(/)(2(4))(4)(14)(6)(3)(2sYsYssYSsYsYs4634)(/)(23sssssRsY2.8如图（题2.8）为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移x为输入量，位移y为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s)。2.9试分析当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为1)(TsKsG,TssG)(,sKsG)(,而闭环传递函数为)()(1)()(sHsGsGsGB,则(1)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，KTsKTsKTsKsHsGsGsGB1111)()(1)()((2)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时，TsTssHsGsGsGB1)()(1)()((3)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为积分环节时，KsKsKsKsHsGsGsGB1)()(1)()(2.10证明图（题2.10）与图（题2.3（a）所示系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。)1(122idtCRuo)2(11iRuuoi)3()(111dtiiCuuoi对以上三式分别作Laplce别换，并注意到初始条件为零,即0)0()0(0)0()0(21IIII则）（4)()1()()()(2222sIsCRsCsIsIRsUO）（5)()()(1sIRSUsUiOi）（6)()()()(11sCsIsCsISUsUOisC11)5(,得)7()()()(111110sIsCRsUsUsCiR)6(1,得)8()()()()(1111101sIsCRsCsIRsUsURi)8()7(,得)()()()1(11110sIsCRsUsURsCi即)(1)(1)()(11111111sICRRsIsCRsCsCRsUsUOi则)9()(1)()(1110sICRRsUsUi将(4)式中的)(0sU代入(9)式)(1)()1()(11122sICRRsIsCRsUi)()11(11122sIsCRRsCR再用(4)式与上式相比以消去)(sI,即得电系统的传递函数为)())1(1()()1()()()(111222210sIsCRRsCRsIsCRsUsUsG)1(111112222sCRRsCRsCR而本题中，引入中间变量x,依动力学知识有cxxcxxkxxoii)-()()-(12o20xkcxxi11o)(对上二式分别进行拉式变换有scsXsXssXscsXXkOii102)()()(X-)()(02scksXscsX1101)()(消除)(sX有skccskcskcsckscksckscksXsXsGi11122221111222201)()()(比较两系统的传递函数有Ck221Ck111Rc22Rc11故这两个系统为相似系统。2.11一齿轮系如图（题2.11）所示。图中，z1、z2、z3和z4分别为各齿轮齿数；J1、J2、和J3表示各种传动轴上的转动惯量，1、2和3为各轴的角位移；Mm是电动机输出转矩。试列写折算到电动轴上的齿轮系的运动方程。2.12求图（题2.12）所示两系统的传递函数。图（题2.12）解：(1)由图(a)中系统，可得动力学方程为)()()()(txctxmktxtxoooi作Laplce别换，得)()()()(2scsXsXsmksXsXoooi则有)/()(/)()(20kcsmsksXsXsGi(2)由图(b)中系统,设i为电网络的电流，可得方程为idtCdtdiLRiui1idtCuo1作Laplce别换，得)(1)()()(sICssLsIsRIsUi)(1)(osICssU消除中间变量有11)(/)()(20RCsLCssUsUsGi2.13某直流调速系统如图（题2.13）所示，us为给定输入量，电动机转速n为系统的输出量，电动机的负载转矩TL为系统的扰动量。各环节的微分方程：比较环节uuufnsn-比例调节器uKunkc（Kk为放大系数）晶闸管触发整流装置uKuckd(Ks为整流增益)电动机电枢回路edtdiLRiuaddad(Rd为电枢回路电阻,Ld为电枢回路电感,ia为电枢电流)电枢反电势nKed(Kd为反电势系数)电磁转矩iKMame(Km为转矩系数)负载平衡方程TdtdnJMLGe(JG为转动惯量，TL为负载转矩)测速电动机nufn(为转速反馈系数)试根据所给出的微分方程，绘制各环节相应的传递函数方框图和控制系数的传递函数方框图，并由方框图求取传递函数)()(sUsNs和)()(sTsNL。2.14试绘制图（题2.14）所示机械系统传递函数方框图。2.15若系统传递函数方框图为图（题2.15）。(1)求以)(sR为输入，当0)(sN时，分别以)(sC、)(sY、)(sB、)(sE为输出的闭环传递函数；(2)求以)(sN为输入，当0)(sR时，分别以)(sC、)(sY、)(sB、)(sE为输出的闭环传递函数；(3)比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论？图(题2.15)解:(1)求以)(sR为输入，当0)(sN时:若以)(sC为输出,有)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCsGC若以)(sY为输出,有)()()(1)()()()(211sHsGsGsGsRsYsGY若以)(sB为输出,有)()()(1)()()()()()(2121sHsGsGsHsGsGsRsBsGB若以)(sE为输出,有)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEsGE(2)求以)(sN为输入，当0)(sR时:若以)(sC为输出,有)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsRsCsGC