2材料科学研究中的数学模型

计算机在材料科学中的应用ComputerinMaterialScienceandEngineering肖康[e-mail]2.材料科学研究中的数学模型材料科学研究中的数学模型本章要求理解数学模型的基本概念了解数学模型的特征和分类掌握数学建模的一般原则了解常用建模方法能根据实际问题建立简单的数学模型2.1.先看两个问题1.某人一天从早上9点从山脚上山，下午5点到达山顶；次日上午9点沿原路下山，下午5点到达山脚。请证明其一定在某一相同时间(指标准钟表时间)经过某一相同地点。2.甲乙两个奶茶店位于同一步行街上，为步行街上的行人提供相同类型的奶茶，彼此竞争激烈。一天甲奶茶店推出降价销售吸引顾客，造成乙奶茶店顾客被拉走，影响乙奶茶店的盈利。由于利润受价格和销量的影响，乙奶茶店为了挽回损失采取对策，决定也降价销售以争取顾客。问：乙奶茶店如何决定奶茶的价格，既可同甲奶茶店竞争，又可获得尽可能高的利润。(PS：除了降价，乙奶茶店还可采取哪些方法吸引顾客？)2.1.再看两个游戏1.商人过河问题。三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳两个人，由他们自己划行。随从密约，在河的任一岸一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。该密约被商人所知，但如何乘船过河由商人控制，问如何设计过河方案商人们才能安全过河？2.如右图一个6×8的格子，从A格进入，从B格出去；从一个方格到另一个方格只能走横线或竖线，不能走对角线，走过的方格不能重复走。问能否从A格进入遍历所有方格后从B格出去。AB2.2.数学模型数学模型数学模型(MathematicalModel)很早就在使用，但作为一门学科是近些年才发展起来的，它是数学理论与实际问题相结合的一门科学；是采用数学方法解决实际问题的手段，也是其它学科研究、分析问题的重要方法。数学模型将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。2.2.数学模型数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。能解释或描述特定现象的现实性态能预测对象的未来状况能提供处理对象的最优决策或控制2.2.数学模型广义数学模型凡是一切数学概念、数学理论体系、数学公式/方程、以及公式组成的算法系统等如：牛顿三定律狭义数学模型凡是将具体现象、事物的特征和性质给以数学表达的数学结构如：人口增长模型2.3.数学模型分类按对实体的认识过程分类描述型模型（归纳型）：从特殊到一般解释型模型（演绎型）：从一般到特殊按对模型结构的了解程度白箱模型：对机理了解清楚灰箱模型：对机理一知半解黑箱模型：对机理一片茫然2.3.数学模型分类按建立模型的数学方法初等模型、规划模型、微分方程模型、图论模型、随机模型、模拟模型…按模型的应用领域化工模型、人口模型、生态模型、气象模型、经济模型、社会模型、交通模型…2.3.数学模型分类按建立模型的特征静态模型和动态模型确定性模型和随机性模型连续模型和离散模型线性模型和非线性模型……2.4.数学建模数学模型的建立，称为数学建模。包括表述、求解、解释、检验等过程。数学模型有以下特点：目的性多样性逼真性和可行性渐进性强健性可转移性局限性模型的条理性、技艺性、非预制性等2.5.数学建模的一般过程看一个问题某新开的旅馆有100间客房，经过一段时间的试运营，获得如下表所示的数据。为了使旅馆每天的收益最高，每间客房应该如何定价？单价(元/间/天)160140120100客房入住量(间)556575852.5.数学建模的一般过程首先要问的问题：目的是什么？要解决什么问题？每天旅馆收益最高，即求：max(单价×入住量)单价(元/间/天)160140120100客房入住量(间)5565758540506070809080100120140160180入住量与单价线性递减160为最高单价100为最低单价所有房间同质、等价2.5.数学建模的一般过程入住量与单价线性递减g𝑥=𝑎𝑥+𝑏,𝑥∈[100,160]入住量单价g𝑥=−0.5𝑥+135,𝑥∈[100,160]𝑓𝑥=𝑥g𝑥=−0.5𝑥2+135𝑥由此可得收益与单价的关系由𝒇′(𝒙)=𝟎可得极致条件时单价为x=135元/间/天;入住量为g(x)=67.5间,最大收益为9112.5元/天2.5.数学建模的一般过程分析一下结果如果定价135元/间/天，则入住量为67.5间，存在半间入住，不太可能。因而对定价做一些微调，如130元/间/天，或者140元/间/天，此时入住量分别为65间和70间，收益均为9100元/天。定价需要结合实际情况，如客源对象、管理费。模型适用性如何？模型建立基于入住量与价格线性相关，如果不是，则需要修正或更改。根据假设，价格只在[100,160]之间适用，不能外延。2.5.数学建模的一般过程模型用了哪些假设？假设入住量与单价呈线性关系；假定价格位于区间[100,160]；假设所有房间一样，价格相同；假设旅馆提供的数据具有代表性；假设市场状况稳定，没有大的波动和周期性对模型的一些质问这些假设是否合理？能否反映问题本质？所得模型是否适用？求解是否方便？模型是否需要根据实际情况做修正？……2.5.数学建模的一般过程表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答现实对象信息采集数学模型对现实对象的解答模型求解表述求解解释验证现实世界数学世界2.5.数学建模的一般过程模型准备建模假设构造模型模型求解模型分析模型检验模型应用了解实际问题，弄清相互关系，明确建模目的根据实际问题和建模目的，对问题进行必要简化，利于模型的构造𝑭=𝐺𝑀𝑚𝑟2𝒓𝑟把球体简化为质点在假设的基础上，利用适当的数学方法建立变量之间的关系，构建数学结构(尽量简单)根据已知条件对所建模型求解或估算对求解结果进行数学分析，如稳定性、误差分析等将模型结果与实际情况比较，检验模型的准确性、合理性、适用性等。如有不符，应进行模型修正。建模的目的。根据具体情况，应用方式不同。2.5.常用的数学建模方法机理分析法测试分析法二者结合根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型通常具有明确的物理或现实意义。将对象看作“黑箱”,通过关联系统的输入和输出数据，运用统计分析方法，找出与数据拟合最好的模型，并确定模型参数。用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数。理论分析法机理分析法类比分析法数据分析法2.5.常用的数学建模方法理论分析法应用自然科学中的定理、定律，对研究系统的有关因素进行分析、演绎，从而建立的数学模型。适合对机理、原理比较了解的情况模型可靠性一般较高2.5.常用的数学建模方法例：双层玻璃窗的功效一般北方建筑的窗户玻璃为双层玻璃，若玻璃的厚度为d，空气层的厚度为l.试建立数学模型描述热量通过窗户的传导过程，并将双层玻璃窗与同样多材料做成的单层玻璃窗(厚度为2d)的热量传导进行对比，给出热量损失的定量分析，以说明为什么采用双层玻璃窗。2.5.常用的数学建模方法所用的定律：傅立叶(Fourier)热传导定律𝑄𝑥=−𝑘𝜕𝑇𝜕𝑥模型假设热量传递过程只有传导，没有对流。即认为窗户密封性很好，两层玻璃之间的空气不流动。(这一假设基本符合现实)室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导处于稳态。即沿热传导方向，单位时间内通过单位面积的热量是常数。玻璃材料均匀，热传导系数是常数。(这一假设也基本符合现实情况)；Qx为x方向的热流密度(W/m2)k为材料的热导率(W/(m·K))∂T/∂x为x方向的温度梯度(K/m)负号代表传热方向与温度梯度的方向相反2.5.常用的数学建模方法模型构建根据假设，传热处于稳定状态，则∂T/∂x对同一种介质为常数，可用ΔT/d表示；且沿x方向(热传导方向)各截面传导热量相同。对双层玻璃窗，记内层玻璃的外侧温度为Ta，外侧玻璃的内侧温度为Tb,玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，则单位时间单位面积的热传导(即热量流失)为：𝑄1=𝑘1𝑇1−𝑇𝑎𝑑=𝑘2𝑇𝑎−𝑇𝑏𝑙=𝑘1𝑇𝑏−𝑇2𝑑式中消去Ta或Tb,得：𝑄1=𝑘1𝑇1−𝑇2𝑑(𝑠+2),其中s=h𝑘1𝑘2,ℎ=𝑙𝑑2.5.常用的数学建模方法对单层玻璃窗，则有：𝑄2=𝑘1𝑇1−𝑇22𝑑两者之比Q1/Q2为：𝑄1𝑄2=𝑘1𝑇1−𝑇2𝑑(𝑠+2)𝑘1𝑇1−𝑇22𝑑=2𝑠+2s0，所以有Q1Q2，即双层玻璃保温效果更好。s=h𝑘1𝑘2,ℎ=𝑙𝑑2.5.常用的数学建模方法模型分析常用玻璃的导热系数：k1=4×10-3~8×10-3J/(cm·s·kWh)；不流通、干燥空气导热系数：k2=2.5×10-4J/(cm·s·kWh)；则有k1/k2=16~32；按最保守估计，取k1/k2=16，有：𝑄1𝑄2=18ℎ+1,ℎ=𝑙𝑑02468Q1/Q2h0.060.030.02当h由0增加时，Q1/Q2迅速下降，但当h4后，下降变缓，可见h不宜过大。2.5.常用的数学建模方法模型检验与应用制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失是相当可观的。通常，建筑规范要求h=l/d约为4。按照这个模型，Q1/Q2约为3%，即双层玻璃比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右。之所以有如此高的功效主要由于层间空气极低的热传导系数，而这要求空气是干燥、不流通的。作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层窗户的功效会比上述结果差一些。2.5.常用的数学建模方法模拟方法用一种相似的体系，来模拟一个不易求解的系统。模型的结构和性质已经了解，但其数量关系及求解却相当麻烦。另一种系统在结构和性质与其相同，而且构造出的模型相似，则可以把后一种模型看成是原来模型的模拟，而对后一个模型去分析或实验并求得其结果，用于解释前一种系统。2.5.常用的数学建模方法例：哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡是18世纪东普鲁士的一个城市(现俄罗斯加里宁格勒)，有一条名叫普雷格尔的河流经市中心，河中有两个岛，把市区分成四块陆地A、B、C、D。陆地之间有七座桥相通，如下图所示。市民提出的问题是：能否从某一岸(C或D)出发，经过所有七座桥恰好一次，走遍七座桥回到出发点。(著名的哥尼斯堡七桥问题)2.5.常用的数学建模方法这是个遍历问题，但可以用一笔画问题加以描述。ABCD瑞士数学家欧拉(Euler)创造性的将每一块陆地用一个点表示，将连接的桥用一条边代替，问题转化为：从图的一个顶点出发，经每一条边仅一次，最后回到出发点。这实质上是一个一笔画问题。2.5.常用的数学建模方法ABCD经分析，欧拉得出一般性的结论：1.图中奇点仅一个或大于两个时，不能实现一笔画；2.图中奇点仅有两个时，则从两者中任意一个奇点出发，实现一笔画而停留在另一个奇点；3.图中没有奇点时，则从任意点出发均可实现一笔画，且最终回到出发点。哥尼斯堡七桥不可遍历1736年，欧拉发表论文《哥尼斯堡的七座桥》，成为“图论”作为独立数学分支诞生的标志。2.5.常用的数学建模方法类比分析法若两个不同的系统可以用同一形式的数学模型来描述，则这两个系统可以类比。类比分析是根据两个(两类)系统某些属性或关系的相似，推定两者其他属性或关系也可能相似的方法。2.5.常用的数学建模方法例：椅子问题把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳。问题是：椅子在不平的地面上能放稳吗？2.5.常用的数学建模方法模型假设这是一个看起来和数学无关的问题，但是可以通过数学语言描述。首先做以下必要