2015步步高理科数学第一讲坐标系

第一讲坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ0，y′＝μ0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称__________．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个______O，叫做极点；自极点O引一条______Ox，叫做极轴；再选定一个______单位、一个______单位(通常取______)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的______叫做点M的极径，记为____；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角______叫做点M的极角，记为____．有序数对______叫做点M的极坐标，记为______．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ____0，θ可取__________．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与______________表示同一个点．特别地，极点O的坐标为______________．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有______种表示．如果规定ρ0，________，那么除______外，平面内的点可用______的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是______确定的．3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为______，x轴的正半轴作为______，并在两种坐标系中取相同的__________．(2)互化公式：如图所示，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝__________，y＝__________ρ2＝________，tanθ＝_________4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆圆心为(r,0)，半径为r的圆圆心为(r，π2)，半径为r的圆过极点，倾斜角为α的直线(1)__________或__________(2)θ＝α(ρ≥0)和________(ρ≥0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线过点(a，π2)，与极轴平行的直线1．在极坐标系中，若点A，B的坐标分别是(3，π3)，(4，－π6)，则△AOB为________三角形．2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．3．(课本习题改编)极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ能表示的曲线的直角坐标方程为________．4．曲线ρ＝4sinθ与ρ＝2的交点坐标是________.题型一平面直角坐标系中的伸缩变换例1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，(1)求点A(13，－2)经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得的直线l′的方程；(3)求双曲线C：x2－y264＝1经过φ变换后所得到的曲线C′的焦点坐标．思维升华平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换x′＝λ·xλ0，y′＝μ·yμ0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．椭圆x24＋y2＝1经过伸缩变换x′＝12x，y′＝y后的曲线方程为________．题型二极坐标与直角坐标的互化例2(2012·湖南)在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a0)的一个交点在极轴上，则a＝________.思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．(2013·北京)在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ＝2的距离等于________．题型三求曲线的极坐标方程例3已知P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，∠AOB＝π3，△POQ的面积为8，则PQ中点M的极坐标方程为________．思维升华求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式，解决这类问题，关键是抓住问题的几何意义．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．(1)(2012·上海)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝π6.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________.(2)(2012·江苏改编)在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为________．转化与化归思想在坐标系中的应用典例：(5分)(2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．思维启迪将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解．解析极坐标系中的圆ρ＝4sinθ转化为平面直角坐标系中的一般方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y＝33x，即3x－3y＝0.∴圆心(0,2)到直线3x－3y＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝3.答案3温馨提醒本题考查了极坐标方程和平面直角坐标系中一般方程的转化，考查了转化与化归思想，题目难度不大，做本题时有可能因对极坐标和平面直角坐标的关系不熟而受挫．在进行坐标互化时要注意以下几点：(1)互化的三个前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正方向重合；③取相同的单位长度．(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.方法与技巧1．我们在使用伸缩变换时，要分清新旧坐标：P′(x′，y′)是变换图形后的点的坐标，P(x，y)是变换前图形的点的坐标．注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式，以加深理解和记忆．2．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．3．如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可．失误与防范极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.A组专项基础训练1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________．2．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________．3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线x2＋y2＝16变换为椭圆x′2＋y′216＝1，此伸缩变换公式是________．4．在极坐标系中，点2，π3到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为________．5．已知点M的极坐标为(6，11π6)，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________．6．直线ρcosθ＝2关于直线θ＝π4对称的直线极坐标方程为________．7．在极坐标系中，曲线ρ＝asinθ与ρ＝acosθ(a0，ρ0,0≤θπ)的交点的极坐标为________．8．在极坐标系中，直线ρsinθ－π4＝22与圆ρ＝2cosθ的位置关系是________．9．(2012·陕西)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．10．在极坐标系中，射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C1：ρ＝4sinθ的异于极点的交点为A，与曲线C2：ρ＝8sinθ的异于极点的交点为B，则|AB|＝________.B组专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，则实数a的值为________．2．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．3．在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π3)与直线ρsin(θ＋π6)＝1的两个交点之间的距离为________．4．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－π6上的动点，则|PQ|的最大值为________．5．圆心为C3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为______________________．6．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于点M，N.则线段MN的长为________．7．已知极坐标系中，极点为O，将点A4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B，且OA＝OB，则点B的直角坐标为________．答案基础知识自主学习要点梳理1．λ·xμ·y伸缩变换2．(1)定点射线长度角度弧度逆时针(2)距离|OM|ρxOMθ(ρ，θ)M(ρ，θ)≥任意实数(3)(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)(0，θ)(θ∈R)无数0≤θ2π极点惟一惟一3．(1)极点极轴长度单位(2)ρcosθρsinθx2＋y2yx(x≠0)4．ρ＝r(0≤θ2π)ρ＝2rcosθ(－π2≤θπ2)ρ＝2rsinθ(0≤θπ)θ＝α(ρ∈R)θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝π＋αρcosθ＝a(－π2θπ2)ρsinθ＝a(0θπ)夯基释疑1．直角2.433.x2＋y2－2x－y＝04.(2，π6)，(2，5π6)题型分类深度剖析例1解(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y得到x′＝3x，y′＝12y，由于A(x，y)为(13，－2)，∴x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，∴A′的坐标为(1，－1)．(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，则x＝13x′，y＝2y′，将x＝13x′y＝2y′代入y＝6x得2y′＝6×(13x′)，即y′＝x′，∴直线l′的方程为y＝x.(3)设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，则x＝13x′，y＝2y′，将x＝13x′，y＝2y′代入x2－y264＝1，得x′29－4y′264＝1，化简得x′29－y′216＝1，∴曲线C′的方程为x29－y216＝1.可见曲线C′仍为双曲线，且焦点坐标为F1(－5,0)、F2(5,0)．跟踪训练1x2＋y2＝1解析由x′＝12x，y′＝y得到x＝2x′，y＝y′.①将①代入x24＋y2＝1得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.例222解析将极坐标方程化为普通方程求解．ρ(2cosθ＋sinθ)＝1，即2ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为2x＋y－1＝0，ρ＝a(a0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在2x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝22.将22，0代入x2＋y2＝a2得a＝22.跟踪训练21解析极坐标系中点2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线方程为y＝2，∴点到直线y＝2的距离为d＝1.例3ρ2＝23sinθsinπ3－θ(0θπ3)解析建立如图所示极坐标系，设动点M坐标为(ρ，θ)(0θπ3)．P、Q两