2薛定谔方程

第27章薛定谔方程目录§27.1薛定谔方程和力学量算符§27.2无限深方势阱中的粒子§27.4一维谐振子§27.3量子隧穿效应§27.1薛定谔方程和力学量算符1926年，在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文，在薛定谔讲完后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋地说：你们要的波动方程，我找到了！----这个方程，就是著名的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。宏观物体运动状态的描述：运动规律的描述：Fma微观物体(具有波粒二象性粒子)：运动状态的描述：运动规律的描述：波函数薛定谔方程,rmv波函数的引入由经典物理知：频率为、波长为、沿X方向传播的平面余弦波可表示为:0cos2()xyyt2上式是复数的实部,其复数为：2()0xityye0[cos2()sin2()]xxyytit将德布罗意关系式2EmchhPmv得与自由实物粒子对应的平面物质波复数表式：2(p)0iEtxhyye2()0(,)iEtpxhxteEhhp代入，区别于经典波动：)(20),(xtietxΨ一、波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。1）自由粒子的波函数)(0),(EtPxietx-------—维自由粒子的波函数r当粒子沿着方向传播时：rZXYkzjyixrˆˆˆkPjPiPPZyxˆˆˆ其中：注意：波函数一般要用复数表示！P)(0),(EtrPietr----------三维自由粒子的波函数这便是描述能量为E动量为P的自由粒子的德布罗意波。二、薛定谔（Schröding）方程设有一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动。适用条件vc，低速微观粒子（1）自由粒子的schroding方程.EP不变与恒定()0iEtPxxe,其波函数为：····（1）自由粒子非相对论条件下总动能：)(0xPEtixe)2(Eit)3(2222xPx（1）式对t求导：（1）式对x求二阶偏导数：i式)2(····（1）)5(222222mPxmx)4(Eti)2/()3(2m式mPEExk22（4）、（5）式比较：)6(2222xmti自由粒子一维含时薛定谔方程)7().(22txUmPEx)4(Eti（2）势场中粒子的薛定谔方程若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：)8().(22txUEmPx将（5）式看成一般情况下的特例：)5(222222mPxmx)9()].([2222txUExm由（4）式：)10().(2222txUtixm)11().(2222txUxmti势场中的一维含时薛定谔方程)11().(2222txUxmti势场中的一维含时薛定谔方程若为三维粒子，薛定谔方程为：)...()(22222222tzyxUzyxmti···（12）引入拉普拉斯算符)13()...(222tzyxUmti2222222zyx三维含时薛定谔方程：引入哈密顿算符：可得一般形式的含时薛定谔方程：Hit2222222zyx--------此式是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒子波函数随时间演化规律。),(222trUm),(2ˆˆ2trUmpH哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演化，外界对粒子的作用，包括不能用力来表达的微观相互作用，一般都可以用哈密顿量中的势函数U(x,t)来概括。而在经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒子上的力。ˆHti练习二十五(3,4)哈密顿（Hamilton）量),(222trUm),(2ˆˆ2trUmpH若U不显含时间，则H称为能量算符。ˆHti势函数U不显含时间的情况很重要。这时，薛定谔方程可分离变量求解。)()..(tfzyx只讨论势函数U与时间无关的情况--------定态薛定谔方程.3）定态薛定谔方程（重点）)14()()..(tfzyx)..()(2[)..(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi)15()]..()...(zyxtzyxU定态:势函数不显含时间，其几率分布也不随时间变化。)..()(22222222zyxUzyxmti（14）式代入方程)..()(2[)..(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi)15()]..()...(zyxtzyxU等式左边是t的函数，右边是坐标的函数，但两边又相等，故等式左右两边均应与x、y、z、t无关，现记为E。则：)16()()(Ettftfi其解：)17()(EtiCetf指数应是无量纲的数，的单位是“焦尔秒”，故E的单位只能是能量，实际上是粒子总能量E。E式中E具有能量量纲，C可以是复数。)..()(2[)..(12222222zyxzyxmzyx)18()]..()...(EzyxtzyxU)..()(2[)..(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi)15()]..()...(zyxtzyxUE)..()(22222222zyxzyxm)..()...(zyxtzyxU)19()..(zyxE)20()..()..()..(222zyxEzyxUzyxm整理)..(zyx)..(zyxUU定态薛定谔方程)21)....(()()(222rErrUm或称能量本征方程数学上：E不论取何值，方程都有解。物理上：E只有取一些特定值，方程的解才能满足波函数的条件（单值、有限、连续）。满足方程的特定的E值，称为能量本征值。定态：能量取确定值的状态，薛定谔方程的特解。ψE称为与E对应的本征波函数。)21)....(()()(222rErrUm)..(zyxEtiezyxzyx)..()..(若定态薛定谔方程已解出为：则粒子的波函数：注意：1）定态波函数为一空间坐标函数与一时间函数的乘积。)(r)(tf2）对于定态，除能量E有确定值外，其几率分布也不随时间变化。222)..()..()(zyxezyxtrEti)21)....(()()(222rErrUm0)()(2)(22xxUEmx改写成一类是本征值问题，给定势能函数U(x)，求粒子的能量E和相应的本征波函数ψn(x)；求解两类问题：另一类是散射问题，假设粒子以能量E射向势垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。)21)....(()()(222rErrUm薛定谔方程应用举例一维势阱对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受到强烈的反射，越出需无限大能量.0aU,0,)(xUaxaxx0.0此称无限深势阱若是经典粒子，粒子如何运动？mE许多情况，粒子束缚在一个很小空间（束缚态）。E可取任意值，且各处出现的几率一样+++mE0)(xUaxaxx0.0量子力学对粒子的分析：粒子满足一维定态薛定谔方程：)21(0)(222UEm粒子无法越过势阱故只须考虑0xa区间的波函数：)1(0][2)()(22)(2xxxUEmx)2(02)(22)(2xxEmx0)(xU令：)3(222mEk)4(0)(22)(2xxkdxd0aUmE§27.2无限深方势阱中的粒子U=0EU→∞U→∞U(x)x0无限深方势阱a0E，为什么？axxaxxU,0,0,0)(a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x0a0，)(xU0)(xUax00,0)()(2)(22ExxUEmx一、势阱中粒子的能量0,0)(2)(2ExmEx222mEk令，方程写成0)()(2xkx粒子被束缚在势阱内(束缚态)1、阱外2、阱内axx,00dd222kx通解：kxBkxAxcossin)(“单值、有限”已经满足，下面看连续条件。A，B为待定常数，由波函数应满足的“单值、有限、连续”条件决定。ikxikxxDeCe)()cos()(kxAxkxBkxAxcossin)(由边界条件：,0x,)0(U0)0(,ax,)(aU0)(a)1(0cos0sin0BA)2(cossin0kaBkaA代入上式0aUmE由(1)式:B=0kxAxsin)(通解：由(1)式:B=0由(2)式:0sinkanka3.2.1n3.2.1n代入通解)4(sin)(xanAx0aUmE)3(ankkxAxsin)(0sin)(kaAaax0A0sinkak取特定值通解：kxBkxAxcossin)(ank2222222nmamkEn,3,2,1,n0sinka一维无限深势阱能量的本征值：其中n称为量子数，n=1代表基态，取其它值代表激发态。这表明，一维无限深方势阱中运动粒子的能量是量子化的。能量本征值也称为能级。E1E2E3E4En0xa222mEkE取特定值最低能量（基态能量）—零点能能级间隔022221maE222211)12(2ΔmanmaEEEnnnnnnnnEEnn12112Δ2，nEmaΔnnEEnΔ宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。二、势阱中粒子的波函数axnAxnsin)(12sin)(202220AadxaxnAdxxaanaA2axxaxaxnaxn,0,00,sin2)(tnEinnextx)(),(定态：由归一化条件:势阱中粒子的概率密度势阱中粒子的德布罗意波nnnhpmEp2nan2能量为En的定态Ψn，对应波长为λn的德布罗意波的驻波。222)()(),(xextxntEinnn2222222nmamkEnn很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀量子经典|2n|En0a|2n|束缚态(boundstate)E1E2E3E4Ennan2,11,22an32,33an2,44an,nnan20xa势阱内粒子概率分布与经典情况不同玻尔对应原理2）粒子在空间不同的地方出现的几率是不同的。结论：1）能量是量子化的，且无0值。能量最小值：082222221mahmaEaqap2/0E波粒二象性的必然结果！)